75602 - ANALISI NUMERICA E MODELLAZIONE GEOMETRICA T

Conoscenze e abilità da conseguire

Il corso si propone come obiettivo l'apprendimento dei fondamenti teorici, degli aspetti numerico-matematici e delle principali metodologie per la rappresentazione e manipolazione matematica di forme. Il percorso formativo prevede di fornire una base di algebra lineare numerica e un'introduzione alla geometria differenziale delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo bi/tridimensionale. Gli strumenti introdotti saranno applicati alla modellazione geometrica di curve, superfici e solidi, cuore dei sistemi di progettazione al calcolatore. Il corso prevede un'attivita' di laboratorio in cui si utilizzera' il software POVRAY.

Contenuti

PARTE A (4 CFU) (modulo 1)

1- Vettori geometrici ed operazioni su di essi; spazi vettoriali.

Vettori geometrici applicati in un punto O e spazi vettoriali geometrici V^n_o (n=1,2,3). Spazi vettoriali; vettori linearmente indipendenti, basi e dimensione; coordinate di un vettore rispetto ad una base. Spazi vettoriali numerici R^n (n=1,2,3,...). Identificazione di V^n_o con R^n secondo una base (n=1,2,3). Lunghezza di un vettore, coseno dell'angolo fra due vettori; prodotto scalare di due vettori; terne destrorse e sinistrorse, prodotto vettoriale di due vettori.

2- Piano e spazio euclidei, geometria analitica lineare.

Spazi vettoriali geometrici V^n_o e spazi euclidei E^n (n=1,2,3). Equazione parametrica della retta per un punto parallela ad un vettore e del piano per un punto parallelo a due vettori. Equazione cartesiana della retta in E^2 e del piano in E^3 passanti per un punto e ortogonali ad un vettore. In E^n, sistemi di riferimento e identificazione con R^n (n=1,2,3). Prodotto scalare e prodotto vettoriale in coordinate. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani in R^n (n=2,3); condizioni di parallelismo. In R^3, posizioni reciproche piano-piano, piano-retta, retta-retta; rette sghembe. Equazioni cartesiane normali di una retta nel piano e di un piano nello spazio. Distanze fra punti, rette e piani; angolo fra due semirette.

3- Sistemi lineari, algebra delle matrici, applicazioni lineari.

Sistemi lineari di m equazioni in n incognite. Matrici; prodotto di matrici. Scrittura matriciale Ax=b di un sistema lineare. Matrici invertibili e matrice inversa. Determinante matrici 2x2 e 3x3, aree e volumi con segno; determinante di matrici nxn. Sistemi quadrati Ax=b, esistenza e unicità della soluzione e invertibilità di A, soluzione x=(A^-1)b. Applicazioni lineari R^n -> R^m e loro rappresentazione x -> Ax con matrici A mxn; composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici. Biiettività, invertibilità e inversione di applicazioni lineari di R^n in sè, determinante e inversione di matrici nxn.

4- Applicazioni lineari e applicazioni lineari affini del piano e dello spazio.

Applicazioni lineari di V^n_o in sè, identificazione con applicazioni di R^n in sè e con matrici nxn (n=2,3); significato geometrico del determinante. Rotazioni, proiezioni ortogonali, riflessioni, scaling, shear; loro matrici rispetto a basi opportune e qualsiasi. Applicazioni lineari affini di E^n in sè come composizione di una traslazione dopo un'applicazione lineare e loro identificazione con applicazioni di R^n in sè (n=2,3). Proiezioni ortogonali, riflessioni.

5- Calcolo differenziale ed integrale di funzioni reali di una variabile reale (richiami).

Funzioni reali di variabile reale e loro grafici; funzioni lineari affini, quadratiche, polinomiali, razionali, trigonometriche, esponenziale e logaritmo. Operazioni sulle funzioni. Continuità e sue implicazioni. Derivata di una funzione in un punto e suo significato geometrico. Regole di derivazione. Definizione di integrale di Riemann e suo significato geometrico. Primitive di una funzione su un intervallo. Teorema fondamentale del calcolo.

 

PARTE B (5 CFU) (modulo 2)

1- Elementi di geometria differenziale.

Curve 2D in forma parametrica, parametrizzazione. Derivata di una curva parametrica, curva regolare, lunghezza di una curva, vettore tangente e curvatura, vettore normale, continuita' geometrica e parametrica. Esempi di curve. Curve 3D in forma parametrica, curvatura e torsione. Frenet frame.

Superfici in forma parametrica regolari, piano tangente, vettore normale, curvature principali , curvatura media e curvatura Gaussiana. Generazione di superfici per trasformazione di curve parametriche.

2- Rappresentazione e modellazione geometrica di curve e superfici.

2.1- Curve di Bézier.

Funzioni polinomiali nella base di Bernstein. Curve di Bézier.Proprietà. Composizione di curve di Bézier. Curve di Bézier razionali. Coniche come razionali quadratiche.

2.2- Curve spline.

Spline polinomiali. Curve spline. Spline razionali (NURBS).

2.3- Superfici.

Superfici di Bézier, superfici spline, superfici NURBS, e NURBS trimmate. Costruzione di superfici NURBS generate da curve: skinning, estrusione, rigate, sweeping.

3- Interpolazione ed approssimazione polinomiale e con curve parametriche.

Interpolazione ed approssimazione polinomiale e spline. Problema di interpolazione di Lagrange ed Hermite. Costruzione di una polinomiale a tratti cubici di Bézier con continuità C^1.

 

Testi/Bibliografia

Per la parte A il riferimento principale sono gli appunti del docente, pubblicati settimanalmente sulla sua pagina web. 

Per approfondimento si consiglia il testo: Geometria analitica del piano e dello spazio, autore: Abeasis Silvana, Zanichelli.

Per la parte B il riferimento è la dispensa del corso che verrà messa a disposizione ad inizio lezioni (scaricabile dalla piattaforma IOL).

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni in laboratorio informatico. Le esercitazioni affiancano la parte teorica per stimolarne la comprensione.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

PARTE A:

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta finale che consiste di esercizi sul modello di quelli visti a lezione.Per superare l'esame occorre un punteggio minimo pari a 18, ottenuto sommando i punteggi relativi agli esercizi (o alle singole risposte) corretti.

PARTE B:

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta finale da svolgersi in laboratorio che consiste di esercizi sul modello di quelli visti a lezione e 3 domande di teoria. Per superare l'esame occorre un punteggio minimo pari a 18, ottenuto sommando i punteggi relativi agli esercizi (o alle singole risposte) corretti.

Il voto finale conseguito sara' calcolato come media pesata della PARTE A e PARTE B.

Strumenti a supporto della didattica

Dispense, lucidi, esercizi.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Carolina Vittoria Beccari

Consulta il sito web di Francesco Regonati