58416 - ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente acquisisce le nozioni fondamentali riguardanti gli spazi vettoriali e le applicazioni lineari ed e' in grado di risolvere semplici problemi di Geometria analitica.

Contenuti

PROGRAMMA D'ESAME

Il programma e' diviso in quattordici unita' didattiche. Ciascuna e' stata trattata in circa 5 o 6 ore di lezione. Sono state inoltre svolte sei esercitazioni di 2 ore ciascuna, in copresenza con il tutor.

Per ogni concetto sono richiesti definizione, esempi e controesempi. Per ogni enunciato e' richiesta anche la dimostrazione, salvo dove espressamente indicato.

1. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano. Relazioni d’equivalenza, classi di equivalenza, partizioni di un insieme. Applicazioni; applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche; composizione di applicazioni, applicazione inversa. Numeri naturali, interi, razionali, reali, complessi. Ogni equazione polinomiale ha soluzione nei numeri complessi (senza dimostrazione).

2. Gruppi, sottogruppi; cenni agli omomorfismi e isomorfismi di gruppi. Esempi: (Z,+), (Q*,.), interi modulo un intero dato, gruppi simmetrici. Campi: razionali, reali, complessi; cenni ai campi finiti con un numero primo di elementi. Spazi vettoriali e loro sottospazi. Esempi: n-ple di elementi di un campo, polinomi a coefficienti in un campo, funzioni su un insieme finito a valori in un campo. Controesempi: curve, reticoli, coni, unione di sottospazi. L'intersezione di sottospazi e' un sottospazio.

3. Combinazioni lineari, sottospazio generato da un insieme di vettori. Insiemi generatori e insiemi linearmente indipendenti. Basi. Un insieme di vettori e' una base se e solo se ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione lineare dei suoi elementi. Coordinate di un vettore in una base data.

4. Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità (cenni di dimostrazione). Dimensione. Basi canoniche per gli esempi precedenti (n-ple di elementi di un campo, polinomi a coefficienti in un campo, funzioni su un insieme finito a valori in un campo). Somma diretta, formula di Grassman (cenni di dimostrazione). Due modi di descrivere un sottospazio vettoriale: forma parametrica e forma cartesiana; legami con la dimensione.

5. Applicazioni lineari. La composizione di applicazioni lineari è lineare. Spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra due spazi vettoriali dati. Nucleo e immagine di una applicazione lineare; il nucleo e l'immagine sono sottospazi. Legame con l'iniettività e la suriettività. Teorema del rango. Isomorfismo; l'essere isomorfi e' una relazione di equivalenza tra spazi vettoriali. 

6. Esiste una e una sola applicazione lineare che prende valori dati su una base data. Matrice di un'applicazione lineare in basi date; isomorfismi tra lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra due spazi vettoriali dati e lo spazio vettoriale delle matrici m x n. La matrice della composizione di due applicazioni è il "prodotto riga per colonna" delle due matrici corrispondenti. Una applicazione lineare è un isomorfismo se e solo se manda basi in basi. Tutti gli spazi vettoriali di dimensione n su un campo dato sono isomorfi tra loro.

7. Matrice identità, matrici invertibili. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se i suoi vettori colonna sono linearmente indipendenti; rango di una matrice. Gruppo generale lineare, gruppo speciale lineare. Determinante di una matrice quadrata: definizione ricorsiva e sue proprietà (senza dimostrazione). Formula per la matrice inversa di una matrice data. Matrice di un cambiamento di base. Similitudine; due matrici sono simili se e solo se rappresentano la stessa applicazione lineare. Matrici quadrate che rappresentano la stessa applicazione lineare in basi diverse hanno lo stesso determinante;  determinante di una applicazione lineare.

8. Soluzione di sistemi n×n mediante inversione della matrice dei coefficienti ("metodo di Cramer"). L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio vettoriale. Spazi affini e loro sottospazi. Rappresentazione parametrica e rappresentazione cartesiana di un sottospazio affine. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare, se non è vuoto, è un sottospazio affine di dimensione n-rk A. Metodo di eliminazione di Gauss-Jordan. Applicazioni alla geometria: rette e piani passanti per punti dati; intersezioni di rette e di piani; parallelismo.

9. Matrici diagonali e loro proprieta'. Autovalori e autovettori di una applicazione lineare. Polinomio caratteristico; esempi di applicazioni lineari che non hanno autovalori nel campo razionale o nel campo reale. Autospazi e loro proprieta'. Basi di autovettori. Molteplicita' algebrica e geometrica. Una applicazione e' diagonalizzabile su un campo dato se e solo se tutti gli autovalori appartengono al campo e la molteplicita' algebrica di ciascun autovalore e' uguale alla sua molteplicita' geometrica. Esempio: l'applicazione derivata su spazi di polinomi o di funzioni trigonometriche; cenni all'esponenziale complesso. Applicazioni nilpotenti; una applicazione lineare nilpotente non nulla non e' diagonalizzabile. Forma canonica di Jordan (senza dimostrazione).

10. Forme bilineari. Biezione tra forme bilineari e matrici (in una base data). Forme bilineari simmetriche e antisimmetriche, matrici simmetriche e antisimmetriche. Ogni matrice si scrive in modo unico come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica. Congruenza tra matrici; due matrici sono congruenti se e solo se rappresentano la stessa forma bilineare. Diagonalizzazione di forme bilineari. Per ogni forma bilineare simmetrica esiste una base diagonalizzante (ovvero ogni matrice simmetrica è congruente ad una matrice diagonale).

11 Forma canonica di una forma bilineare reale; segnatura. Teorema di Sylvester, ovvero la segnatura non dipende dalla base scelta. Forma canonica di una forma bilineare complessa; rango. Forme quadratiche. Corrispondenza tra forme quadratiche e forme bilineari simmetriche. Forme quadratiche reali definite positive e negative, semidefinite positive e negative, indefinite; loro segnatura.  

12 Prodotti scalari. Esempi notevoli di prodotti scalari: prodotto scalare standard di n-ple di elementi di un campo, prodotto scalare standard di funzioni (a valori un campo) su un insieme finito, integrale del prodotto di funzioni continue su intervallo chiuso e limitato. Disuguaglianza di Cauchy-Schwatz. Angolo convesso tra due vettori. Norma di un vettore e sue proprieta'. Proprietà che deve soddisfare una funzione su un insieme per essere detta una "distanza". Distanza discreta, distanza di Manhattan, distanza euclidea. Insiemi di vettori ortogonali e ortonormali. Un insieme ortogonale di vettori e' linearmente indipendente. Esistenza di basi ortonormali. Il prodotto scalare di due vettori è uguale al prodotto scalare standard delle loro coordinate rispetto ad una base ortonormale. Teorema spettrale (cenni di dimostrazione). Sottospazio ortogonale a un sottospazio dato. Applicazioni alla geometria: sottospazio affine ortogonale ad un sottospazio dato e passante per punti dati.

13 Isometrie di uno spazio vettoriale (rispetto ad un prodotto scalare dato). Una applicazione lineare e' una isometria se e solo se conserva la norma di ogni vettore. Ogni isometria e' un isomorfismo. Ogni isometria conserva gli angoli. Matrici ortogonali, gruppo ortogonale, gruppo speciale ortogonale. Una base e' ortonormale se e solo se la matrice del cambiamento di base, rispetto ad una base ortonormale data, e' ortogonale. Un'applicazione lineare e' una isometria se e solo se manda basi ortonormali in basi ortonormali. Un'applicazione lineare e' una isometria se e solo la sua matrice rispetto ad una qualunque base ortonormale e' ortogonale. Determinante e autovalori di una isometria. Classificazione delle isometrie in dimensione 2: rotazioni e simmetrie; gruppi diedrali. Classificazione delle isometrie in dimensione 3. Cenni al duale di uno spazio vettoriale: isomorfismo tra V e V* dato dalla scelta di una base o di una forma bilineare non degenere; isomorfismo canonico tra V e V**. Prodotti hermitiani. Cenni sulle applicazioni unitarie e le matrici unitarie.

14. Omeomorfismi. Varietà, carte, coordinate. Esempi: circonferenza, sfera, cilindro, cono, SL(2,R). Vettori tangenti e spazio tangente ad una varietà in un punto, spazio tangente. Cenni alle curve lisce; il folium di Cartesio. Vettore normale, superfici orientabili, nastro di Moebius. Esempi di determinazione di retta tangente, piano tangente, vettore normale.

Testi/Bibliografia

Appunti delle lezioni, reperibili anche sul blog del corso redatto dagli studenti: https://astroalgebra2019.wordpress.com/

Blog dell'anno precedente, meno aggiornato ma piu' completo: https://astroalgebra2019.wordpress.com/

Tali appunti potranno essere integrati con un qualunque libro di algebra lineare, ad esempio uno dei seguenti:

- Edoardo Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri.

- A. Bernardi, A. Gimigliano, Algebra lineare e geometria analitica, Città studi edizioni.

- S. Lang, Linear Algebra, Springer

Metodi didattici

Lezioni, ricevimento, blog del corso (https://astroalgebra2019.wordpress.com/), utile anche per gli studenti non frequentanti.

Esercitazioni ogni due settimane, in copresenza con il tutor Dott. Lorenzo Vecchi. Altri esercizi sono svolti durante le lezioni, oppure proposti come compiti per casa e poi corretti in classe su richiesta.

AGGIORNAMENTO: vista l'attuale emergenza, il ricevimento si svolgera' in modalita' telematica su Teams. Per fissare un appuntamento, mandatemi una mail.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Per la sessione invernale, l'esame consta di uno scritto e di un orale.

Lo scritto potrà essere svolto in modo tradizionale alla fine del corso, oppure (solo per gli studenti iscritti al primo anno) tramite sei micro-verifiche, di cui 5 durante lo svolgimento del corso ed una alla fine del corso stesso.

AGGIORNAMENTO: gli esami della sessione estiva (uno a giugno, due a settembre) consisteranno di uno "Scritto e Orale" insieme : nella prima meta' all'esaminando/a sara' chiesto di risolvere dei brevi esercizi, interloquendo con il docente e spiegando il procedimento adottato. Nella seconda meta' saranno chiesti definizioni, teoremi, dimostrazioni, esempi.  In particolare:

• l'appello di giugno e' organizzato per turni (3,8,9,10, 11, 23 giugno): ogni studente potra' prenotarsi su almaesami per il turno preferito, nel limite dei posti disponibili.  L'esaminando/a dovra' avere con se due fogli di carta (da attaccare al muro per scriverci come se fossero una piccola lavagna, inquadrato dalla telecamera) ed un pennarello.
• gli appelli di settembre, sempre "scritto e orale" ma con date fissate, si svolgeranno in modalita' mista (ovvero in presenza o no a seconda dell'evoluzione della situazione epidemiologica).

Strumenti a supporto della didattica

vedi sezioni precedenti

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Luca Moci