31586 - COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA ED ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ T

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, dopo aver superato la prova di verifica finale, lo studente possiede le conoscenze di base relative al calcolo di funzioni di più variabile reali (proprietà, massimi e minimi) curve, potenziali, integrali multipli, loro significato, soluzione di alcuni tipi semplici di equazioni differenziali. Inoltre possiede le nozioni elementari di probabilità, con particolare riferimento ad alcune distribuzioni nel continuo (distribuzioni uniforme e normale).

Contenuti

Conoscenze e abilità da conseguire.

 

Per la parte di Analisi Matematica: affinamento e arricchimento degli strumenti matematici di base (integrali, calcolo differenziale, equazioni differenziali, curve e campi vettoriali) per la risoluzione di tipici problemi applicativi.

Per la parte di Probabilità: nozioni e strumenti di base per la risoluzione di semplici problemi di probabilità discreta (eventi, spazi di probabilità, principali variabili aleatorie discrete, densità dipendenza e indipendenza di variabili aleatorie) e cenni di variabili aleatorie continue

 

Programma/Contenuti

 

 

• Probabilità discreta: eventi, spazi di probabilità, probabilità condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti, variabile aleatoria e principali variabili aleatorie discrete, dipendenza e indipendenza di variabili aleatorie, processo di Bernoulli, legge dei grandi numeri.
  
  

• Probabilità continua: variabile aleatoria continua, densità e funzione di ripartizione di una variabile aleatoria continua, legge normale, processo di Poisson, leggi gamma.

 

• Numeri complessi: Introduzione, forma algebrica e trigonometrica, piano di Gauss, formula di De Moivre, radici n-esime di un numero complesso.

• Calcolo differenziale per funzioni in più variabili:
  • Introduzione Elementi di topologia in R^n. Funzioni da R^n in R^m (n,m=1,2,3). Limiti e continuità. Teorema di Bolzano. Teorema di Weierstrass.
  • Funzioni in più variabili a valori reali Derivate parziali e derivate direzionali per funzioni in più variabili a valori reali. Gradiente e sue proprietà. Derivate di ordine superiore. Hessiano. Lemma di Schwarz. Formula di Taylor al secondo ordine. Piano tangente.
  • Calcolo differenziale per funzioni in più variabili a valori vettoriali. Jacobiano. Composizione di funzioni: teorema dello Jacobiano della funzione composta.

   

• Applicazioni del calcolo differenziale:
  • Massimi e minimi relativi liberi. Teorema di Fermat. Richiami su forme quadratiche associate a matrici simmetriche e la loro classificazione. Classificazione dei punti critici: condizioni necessarie o sufficienti per funzioni C^2.

   

• Misura e integrazione per funzioni in più variabili Misura di Peano-Jordan. Integrale di Riemann per funzioni da R^n in R. Proprietà dell'integrale: additività, monotonia, linearità. Teorema della media. Teoremi di riduzione degli integrali doppi e tripli in domini normali. Principio di Cavalieri. Teorema di Cavalieri. Cambiamento di variabile per l'integrale multiplo. Coordinate polari, sferiche, cilindriche.

 

• Curve in forma parametrica ed integrali curvilinei
  • Curve regolari. Curve regolari a tratti. Orientamento e curve orientate. Integrali curvilinei su curve orientate: lunghezza, integrale curvilineo di una funzione.

   

• Cenni di integrali di superfici e teorema di Gauss-Green: superfici parametriche regolari, area e integrale di una funzione scalare su una superficie parametrica, superfici orientate, flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata, teorema di Gauss-Green.

 

Testi/Bibliografia

Testi/Bibliografia

 

M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2 - Zanichelli 2009

P. Baldi: Introduzione alla probabilità - McGraw Hill 2012

Metodi didattici

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

Le date degli esami sono pubblicate su Almaesami

E' prevista una verifica dell'apprendimento per la parte di probabilità, che occupa la prima parte del corso (circa 30 ore), che consta di quattro esercizi con svolgimento e due domande teoriche con voto in trentesimi. Questa parte della durata di 1 ora si intende superata se lo studente totalizza un punteggio maggiore o uguale a 18.

Per la parte di Analisi l'esame consiste di due parti. La prima parte composta da 4 esercizi a risposta multipla ed uno con svolgimento, mentre la seconda parte (che avrà luogo qualche giorno dopo) consiste di 3 domande teoriche su argomenti del corso. Il voto in ciascuna di queste due parti è in trentesimi e si intendono superate con voto maggiore o uguale a 18 per ciascuna delle due parti.

Per la parte di probabilità: oltre alla verifica intermedia gli appelli coincidono con quelli della I parte di Analisi e in questi casi lo studente può scegliere se svolgere solo la parte di probabilità, solo la parte di Analisi o entrambe.

La durata della I parte di Analisi è di 2 ore. La durata della II parte di Analisi è 1 ora. La durata della parte di probabilità è 1 ora. Se si sceglie di fare la I parte di Analisi + probabilità la durata è di 3 ore.

Nella parte di probabilità e nella seconda parte di Analisi è prevista una domanda facoltativa che darà punti in più.

Il voto finale si ottiene come media delle tre prove se sono state tutte superate.

Se lo studente totalizza più di 30 punti, su Almaesami viene inserito il voto finale 30/30 e lode

E' obbligatoria l'iscrizione su Almaesami ad entrambe le parti usando le liste di iscrizione aperte su Almaesami.

E' obbligatorio presentarsi all'esame con un documento di riconoscimento con foto.

Al termine della correzione delle prove scritte, viene fissato un apposito ricevimento studenti per la visione dei compiti e, al termine di tale ricevimento, la Commissione procede a verbalizzare i voti validi.

Ulteriori informazioni sulle modalità dell'esame e sui punteggi dei singoli esercizi nonché la pubblicazione delle date degli appelli sono reperibili alle pagine web docente.

Nelle pagine di Alma Campus sono altresì pubblicati alcuni testi tipo d'esame relative alla parte di Analisi Matematica.

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Parte Probabilità (1 h) Lo studente svolge esercizi del programma svolto sotto forma di esercizi con svolgimento per esteso. Il punteggio di questa parte va da 0 a 30 + punti domanda facoltativa. Prova superata con voto maggiore o uguale a 18. Durante questa prova non è ammessa la consultazione di appunti o altro supporto.

Parte A (2 h). Lo studente svolge esercizi del programma svolto sotto forma di esercizi a risposta guidata e per esteso.

Durante questa parte della prova lo studente può consultare esclusivamente i propri libri di testo e gli appunti di Analisi Matematica, mentre è proibito l'uso di qualsiasi dispositivo elettronico.

Lo studente che raggiunge la soglia di ammissione (ossia 18/30) è ammesso alla parte B.

Parte B (durata 1 ora). Lo studente può portare con sé solo la penna, risponde per iscritto a quattro domande di teoria su argomenti svolti durante il corso. Il punteggio di questa parte va da 0 a 30 + punti domanda facoltativa. Prova superata con voto maggiore o uguale a 18. Durante questa prova non è ammessa la consultazione di appunti o altro supporto.

Ulteriori informazioni sulle prove d'esame (compresi i punteggi dei singoli esercizi e il calendario delle prove d'esame) sono disponibili nel sito web docente: http://www.unibo.it/docenti/cataldo.grammatico .

Le date degli esami sono pubblicate su Almaesami.

I testi tipo di alcune prove d'esame parte A sono disponibili su Alma Campus.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Grammatico Cataldo [https://www.unibo.it/sitoweb/cataldo.grammatico]

Strumenti a supporto della didattica

Nelle pagine di Alma Campus sono altresì pubblicati alcuni testi tipo d'esame relative alla parte di Analisi Matematica.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Cataldo Grammatico