30216 - MODELLI PROBABILISTICI

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente conosce alcuni elementi di teorie avanzate di probabilità con applicazioni all'informatica, quali catene di Markov in tempo discreto e continuo. È in grado di analizzare semplici sistemi stocastici collegati con le applicazioni.

Contenuti

 Introduzione alla valutazione e la copertura di derivati finanziari in modelli uni-periodali: opzioni, arbitraggi, relazione di Put-Call parity, prezzo di arbitraggio e neutrale al rischio, mercati incompleti.

Processi di Markov e martingale: Sigma-algebre e filtrazioni, attesa condizionata, processi stocastici a tempo discreto, martingale, tempi d'arresto, teorema di decomposizione di Doob, proprietà di Markov, catene di Markov discrete.

Valutazione e copertura in mercati discreti: strategie autofinanzianti ed ammissibili, misura martingala equivalente e Primo Teorema Fondamentale dell'Asset Pricing, mercati liberi da arbitraggi e prezzo di arbitraggio, completezza e Secondo Teorema Fondamentale dell'Asset Pricing.

Modelli di mercato multinomiali: albero binomiale, assenza di arbitraggio e completezza, prezzo di arbitraggio e strategie di replicazione, algoritmo binomiale, stabilità e convergenza verso il modello di Black-Scholes, modello trinomiale e mercati incompleti, esempi: opzioni di tipo europeo.

Elementi di controllo ottimo stocastico: introduzione alla programmazione dinamica.

Elementi di apprendimento assistito (machine learning): insiemi degli input e degli output, training set, classe delle ipotesi; expected loss e rischio empirico, introduzione alle reti neurali; metodi di discesa del gradiente deterministico e stocastico.

Prerequisiti: teoria del calcolo delle probabilità.

Testi/Bibliografia

- Pascucci, Andrea, and Wolfgang J. Runggaldier. Finanza matematica: teoria e problemi per modelli multiperiodali. Springer Science & Business Media, 2009.

- Pascucci, Andrea. Calcolo stocastico per la finanza. Springer Science & Business Media, 2008.

- Shai Shalev-Shwartz and Shai Ben-David. Understanding Machine Learning: From Theory to Algorithms. Cambridge University Press, 2014.

Metodi didattici

Lezioni frontali alla lavagna.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Colloquio orale con domande volte ad accertare la conoscenza degli argomenti presentati a lezione. Lo studente inizia con la presentazione di un argomento a scelta. Eventualmente, brevi esercizi volti ad accertare l'abilità dello studente nell'applicare le conoscenze acquisite.

Strumenti a supporto della didattica

Dispensa in pdf su alcuni argomenti trattati nel corso, disponibile sul sito virtuale.unibo.it

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Stefano Pagliarani