29228 - GEOMETRIA E ALGEBRA T

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscenza degli strumenti principali dell'algebra lineare (matrici, spazi vettoriali, sistemi lineari, autovalori, forme quadratiche) e loro applicazione in ambito geometrico, garantendo sia la comprensione dei legami tra le diverse parti della teoria, sia la capacità operativa.

Contenuti

TEORIA

[Equazioni e sistemi lineari] Alcune strutture algebriche (gruppi, anelli, campi). Operazioni standard su Kn. Sistemi lineari.

[Matrici] Definizioni iniziali. Operazioni. Sistemi lineari e matrici.

[Spazi vettoriali] Definizioni iniziali. Sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari. Sottospazio somma. Spazi riga e colonna di una matrice.

[Basi] Dipendenza lineare. Basi e dimensione. Rango di una matrice. Sistemi lineari.

[Applicazioni lineari] Linearità. Isomorfismi. Nucleo e immagine.

[Rappresentazioni matriciali di applicazioni lineari] Applicazioni lineari, basi, matrici.

[Determinanti] Permutazioni. Determinante. Proprietà dei determinanti. Sviluppo di Laplace. Matrice inversa. Determinante di un endomorfismo. Rango di una matrice. Sistemi lineari.

[Rappresentazioni di sottospazi] Rango, nucleo, immagine. Rappresentazioni cartesiana e parametrica.

[Autovalori e autovettori] Autovalori ed autospazi di un endomorfismo. Matrici simili. Polinomio caratteristico. Diagonalizzazione di matrici.

[Spazi vettoriali euclidei] Prodotti scalari e norme indotte. Ortogonalità. Basi ortogonali e ortonormali. Isometrie. Complemento ortogonale. Prodotto vettoriale.

[Spazi euclidei] Sottospazi euclidei. Rappresentazioni di sottospazi euclidei. Parallelismo e ortogonalità nello spazio euclideo tridimensionale.

ESERCITAZIONI
Calcolo di determinanti e ranghi di matrici. Discussione e risoluzione di sistemi lineari. Reperimento e rappresentazione di applicazioni lineari. Determinazione delle equazioni di sottospazi vettoriali. Passaggio fra le rappresentazioni. Calcolo di autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Risoluzione di problemi di parallelismo e ortogonalità in R^3. Calcolo dell'angolo fra due rette.

Per ulteriori dettagli si veda la pagina web http://www.dm.unibo.it/~frosini/programmi/programmacorso2022.shtml

Testi/Bibliografia

A. Gimigliano, A. Bernardi, "Algebra lineare e geometria analitica", CittàStudiEdizioni, 2014.

Metodi didattici

Lezioni frontali.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

A causa dell'epidemia di Covid-19 in corso le modalità d'esame descritte di seguito potrebbero essere variate. Consultare la pagina web http://www.dm.unibo.it/~frosini/modalitaesame2022.shtml

=======

1) L'esame consisterà in una prova orale online obbligatoria per tutti. Nel corso della prova orale verranno poste domande di teoria e verrà chiesto lo svolgimento di esercizi. Il programma di riferimento sarà quello svolto nell'ultimo anno accademico (il programma svolto nell'a.a. 2021/2022 è disponibile alla pagina web http://www.dm.unibo.it/~frosini/programmi/programma_svolto_GA_2021_2022.pdf ). Lo studente potrà essere interrogato su ogni argomento del programma e, se lo desidera, avrà ovviamente diritto di ritirarsi dalla prova.

2) L'ammissione alla prova orale online sarà subordinata al superamento di una prova online costituita da un questionario teorico tenuto su EOL-ESAMI ONLINE, consistente in 9 gruppi di 4 affermazioni (quindi 36 affermazioni in totale). Ogni gruppo farà riferimento a un argomento trattato nel programma, come avveniva nella modalità d'esame precedentemente in vigore. Per ogni affermazione lo studente dovrà dire se si tratta di un'affermazione vera o falsa. Sarà possibile astenersi dalla risposta scegliendo l'opzione "NON SO". A ogni scelta corretta verranno attribuiti 2 punti, a ogni scelta errata 0 punti, alla scelta "NON SO" 1 punto. Il punteggio totale potrà quindi variare fra 0 e 72. (Come si vede, sarà sempre conveniente scegliere una delle tre opzioni, ma il valore atteso rispondendo a caso sarà 36, lo stesso che si otterrà rispondendo sempre "NON SO".) Saranno ammessi alla prova orale coloro che avranno ottenuto almeno 48 punti (in pratica si tratta di valutare correttamente almeno un terzo delle affermazioni). Questa scelta relativa ai punteggi è stata determinata in base alle caratteristiche tecniche di EOL-ESAMI ONLINE. Lo studente che, per motivi personali, desideri riportare il punteggio P ottenuto in un voto T espresso in trentesimi può usare questa formula: T=5P/6-30 (per esempio, il punteggio P=48 corrisponde a 10 trentesimi). La durata della prova del questionario sarà ordinariamente di un'ora, ma potrà essere individualmente estesa in presenza di documentate esigenze personali (p.e., DSA). In quest'ultimo caso lo studente dovrà informarmi con ampio anticipo per email della richiesta di tempo maggiorato. Sottolineo che la tipologia delle domande, la loro difficoltà e la struttura di questo nuovo questionario è la stessa precedentemente usata per i vecchi questionari in presenza. L'unica novità è la somministrazione tramite EOL. La nuova metodica di valutazione è equivalente alla vecchia, seppure con valori numerici diversi. La nuova soglia di 48 punti è equivalente alla vecchia di 6. Se durante la prova del questionario dovesse verificarsi una lunga disconnessione mi riservo di chiedere allo studente di risostenere la prova in altra data. Ogni studente che debba allontanarsi dalla sua postazione (per esempio, per andare in bagno) potrà ovviamente farlo, senza però che questo comporti un cambiamento nell'orario di consegna del questionario.

3) Il punteggio ottenuto nel questionario non contribuirà alla valutazione d'esame e sarà utilizzato solo per l'ammissione alla prova orale.

4) L'iscrizione alla prova online costituita dal questionario dovrà essere effettuata su AlmaEsami.

5) Le prove orali si svolgeranno (ordinariamente in presenza, fatte salve diverse prescrizioni da parte dell'Ateneo) a partire dalla data comunicata su AlmaEsami, secondo un calendario che verrà pubblicato sulla pagina web http://www.dm.unibo.it/~frosini/DIDING.shtml . L'esito della prova dovrà essere verbalizzato entro cinque giorni dal suo sostenimento. Nel caso che uno studente ammesso alla prova orale non superi tale prova o non intenda sostenerla, dovrà risostenere la prova del questionario per poter essere ammesso a una successiva prova orale.

6) Il questionario verrà somministrato tramite EOL e la sua compilazione verrà controllata tramite la piattaforma Zoom. Qualora le prove orali si svolgano online (tramite la piattaforma Microsoft Teams) è necessario che io possa vedere sia lo studente che ciò che scrive e quindi la soluzione ottimale sarebbe una lavagna bianca o dei fogli bianchi verticali su cui scrivere con dei pennarelli. In alternativa potrà essere utilizzato un tablet, avendo cura di visualizzare sia ciò che lo studente scrive che la sua immagine ripresa da una webcam. Se questo non fosse possibile, lo studente potrà utilizzare un foglio di carta su di un tavolo, mostrandomi di tanto in tanto ciò che sta scrivendo. E' comunque importante che io possa vedere non soltanto quel che lo studente scrive, ma anche ciò che ha intorno a sé.

7) Le prove orali online non possono ovviamente dare le stesse garanzie di verifica di quelle in presenza e richiederanno collaborazione fra docente e studente. Sono costretto a precisare che ogni eventuale tentativo di non rispettare le regole verrà severamente sanzionato.

8) Non so dire quanto a lungo questa nuova modalità d'esame resterà in vigore. Tutto dipende dalle decisioni dello Stato e della nostra Università in relazione all'evolvere dell'epidemia.

9) Invito gli studenti a non preoccuparsi per la nuova modalità d'esame: le prove orali avranno la stessa difficoltà vista in passato.

10) Vi invito a leggere frequentemente la pagina web http://www.dm.unibo.it/~frosini/DIDING.shtml, dove potrò mettere eventuali comunicazioni per gli studenti. Ogni studente che abbia difficoltà di tipo tecnologico è pregato di contattarmi.

Resto a disposizione per ogni richiesta d'informazioni relative ad argomenti qui non illustrati.

Strumenti a supporto della didattica

Materiale didattico: del materiale didattico verrà messo a disposizione dello studente sulla pagina web del docente ( http://www.dm.unibo.it/~frosini/ ).

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~frosini/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Patrizio Frosini