29228 - GEOMETRIA E ALGEBRA T

Conoscenze e abilità da conseguire

Fornire i concetti di base dell'algebra lineare e la conoscenza dei più semplici procedimenti di calcolo che ne derivano; descriverne le prime applicazioni allo studio dei sistemi lineari ed alla geometria analitica del piano, dello spazio e delle equazioni differenziali lineari.

Contenuti

Teoria

Alcune strutture algebriche: Gruppi, anelli, campi.

Matrici: Definizioni iniziali. Operazioni. Determinante. Matrice inversa.

Spazi vettoriali: Definizioni iniziali. Sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari. Dipendenza lineare. Basi e dimensione. Sistemi lineari.

Applicazioni lineari: Linearità. Isomorfismi. Nucleo e immagine. Rango di una matrice. Rappresentazioni matriciali di applicazioni lineari. Cambiamenti di base.

Sistemi lineari: Sistemi lineari e loro risolubilità. Metodi di risoluzione. Rappresentazioni di sottospazi vettoriali.

Equazioni algebriche: Divisione con resto di polinomi. Teorema di Ruffini. Molteplicità di radici. Campi algebricamente chiusi. Polinomi a coefficienti reali. Risolubilità per radicali di equazioni algebriche.

Autovalori: Autovalori e autospazi. Similitudine di matrici. Polinomio caratteristico. Diagonalizzabilità per similitudine.

Spazi vettoriali euclidei: Prodotti scalari. Ortogonalità. Insiemi ortonormali. Operatori ortogonali. Complemento ortogonale.

Spazi euclidei: Spazi (affini) ed euclidei. Sottospazi euclidei. Rappresentazioni di sottospazi. Parallelismo. Ortogonalità.

Forme bilineari e quadratiche: Forme bilineari. Rappresentazione matriciale. Matrici simmetriche. Forme quadratiche. Forme canoniche.

Iperquadriche: Cenni sulla classificazione di coniche e quadriche reali.

Esercitazioni

Calcolo di determinanti e ranghi di matrici.

Discussione e risoluzione di sistemi lineari.

Reperimento e rappresentazione di applicazioni lineari.

Determinazione delle equazioni di sottospazi vettoriali ed affini.

Passaggio fra le rappresentazioni.

Calcolo di autovalori e autovettori.

Diagonalizzazione di matrici.

Risoluzione di problemi di parallelismo ed ortogonalità.

Rappresentazione e studio di forme bilineari e quadratiche.

Classificazione di coniche.

Testi/Bibliografia

Teoria:

• Casali M.R., Gagliardi C., Grasselli L., "Geometria", Progetto Leonardo, Ed. Esculapio, Bologna, Edizione 2016 (testo ufficiale del corso).

Esercizi:

• Barani, L. Grasselli, C. Landi, "Algebra lineare e Geometria - Quiz ed esercizi commentati e risolti", Progetto Leonardo, Bologna, 2005.
• Cattabriga, M. Mulazzani, "Prove d’esame risolte di Geometria ed Algebra per i corsi di Laurea in Ingegneria", Progetto Leonardo, Bologna, 2014.
• L. Gualandri, "Algebra lineare e Geometria – Esercizi e quiz risolti e d’esame", Progetto Leonardo, Bologna, 2007.

Metodi didattici

Lezioni frontali con l'ausilio del computer e della lavagna.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta obbligatoria ("prova finale") ed una prova orale. Entrambe abbracciano l'intero programma svolto a lezione.

La prova scritta è composta da due parti: una scheda di teoria con nove domande a risposta multipla e un foglio di esercizi. La scheda di teoria dev'essere compilata durante la prima ora in totale assenza di ausilii, mentre durante la seconda ora, destinata agli esercizi, si consente ed anzi si raccomanda di avvalersi di libri, appunti, mezzi di calcolo ecc. Le schede di teoria vengono raccolte tutte insieme allo scadere della prima ora.

ATTENZIONE: la prova viene considerata insufficiente se nella parte di teoria non si sono raggiunti almeno 5,5 punti. In tal caso (che verrà segnalato nella lista dei voti come N.C., cioè Non Classificato) non verrà corretta la parte relativa agli esercizi. (Gli esercizi verranno corretti su richiesta durante il ricevimento studenti.)

Qualora la soglia di 5,5 punti di teoria sia raggiunta o superata, il voto della prova finale è semplicemente la somma dei punteggi conseguiti nelle due parti.

Si è ammessi alla prova orale se il voto nella parte di teoria è maggiore o uguale a 5,5 e il punteggio totale è di almeno 15 punti. Ogni prova scritta finale ha validità per lo stesso appello e per i due successivi.

Strumenti a supporto della didattica

Libro in versione digitale e lavagna.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Barbara Di Fabio