28377 - GEOMETRIA 3

Anno Accademico 2018/2019

  • Docente: Monica Idà
  • Crediti formativi: 13
  • SSD: MAT/03
  • Lingua di insegnamento: Italiano
  • Moduli: Mirella Manaresi (Modulo 1) Monica Idà (Modulo 2)
  • Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza (Modulo 1) Convenzionale - Lezioni in presenza (Modulo 2)
  • Campus: Bologna
  • Corso: Laurea in Matematica (cod. 8010)

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente ha la corretta interpretazione matematica delle curve e delle superficie dello spazio e le basi della teoria delle funzioni di una variabile complessa, con particolare rilievo al punto di vista geometrico. Sa utilizzare le conoscenze acquisite per analizzare concetti ed esempi classici fondamentali. E' in grado di applicare tali conoscenze alle altre discipline matematiche e alla risoluzione di semplici problemi posti dalle scienze applicate. Possiede abilità di apprendimento e un elevato standard di conoscenza e competenza, tale da permettere l'accesso alle lezioni e ai programmi dei corsi di laurea di secondo livello, in particolare allo studio di argomenti piu' avanzati di geometria differenziale e complessa.

Contenuti

Primo modulo:

Alcuni richiami sulla struttura del gruppo dei movimenti rigidi del piano e dello spazio tridimensionale. Parametrizzazione del gruppo ortogonale per mezzo dei quaternioni di lunghezza unitaria. Curve o cammini parametrizzati, nozione di equivalenza geometrica. Curve parametrizzate orientate. Vettore velocita' di una curva parametrizzata. Lunghezza di un cammino. Esistenza della parametrizzazione d'arco per curve regolari. La curvatura di curve piane, il suo significato e il suo calcolo. Teoria di Frenet per curve nello spazio: Sistema di riferimento di Frenet, curvatura, torsione ed equazioni fondamentali. Esistenza ed unicita' a meno di isometrie di una curva con curvatura e torsione assegnate. Esempi di curve notevoli. La teoria delle superfici nello spazio. Equazioni parametriche e implicite di una superficie. Spazio tangente ad una superficie, mappa di Gauss di una superficie orientata. Prima e seconda forma fondamentale di una superficie. Curvatura e direzioni principali, Curvatura media e totale (o di Gauss). Metodi di calcolo per superfici parametrizzate e superfici definite in forma implicita. Classificazione dei punti di una superficie. La curvatura normale. Teoremi di Meusnier e di Eulero. Invarianza della curvatura totale delle superfici per isometrie. Alcune classi notevoli di superfici: superfici rigate e superfici di rotazione. Cenni alle curve geodetiche su una superficie e al teorema di Gauss Bonnet per un triangolo geodetico. Cenni di geometria sferica e iperbolica.

 

Secondo modulo:

Esempi di funzioni complesse. Polinomi, trasformazioni frazionarie, esponenziale, funzioni trigonometriche. Funzioni olomorfe, equazioni di Cauchy Riemann. Integrale curvilineo di una funzione, Teorema di Cauchy. Formula integrale di Cauchy, teorema di Liouville. Serie formali. Sviluppabilita' in serie di potenze di funzioni olomorfe. Singolarita' di funzioni olomorfe, cenni. Poli e singolarita' essenziali. Teorema di Weiestrass sull'immagine vicino a una singolarita' essenziale. Funzioni meromorfe. Teorema dei residui. Esempi di uso del teorema dei residui per il calcolo di integrali definiti. Superfici di Riemann.

Testi/Bibliografia

Andrew Pressley: Elementary Differential Geometry, 2nd edition, Springer 2012

 

Henri Cartan: Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une o plusieurs variables complexes.

Theodore Gamelin: Complex Analysis. Springer UTM

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Per ciascun modulo:

Esame orale. Durante il corso sono dati alcuni fogli di esercizi, che potranno essere chiesti durante la prova orale.

Orario di ricevimento

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