27993 - ANALISI MATEMATICA T-2

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo studente acquisisce le nozioni fondamentali del calcolo differenziale e integrale per le funzioni di più variabili. Inoltre, affronta lo studio di alcune equazioni differenziali del primo ordine e di quelle lineari del secondo ordine.

Contenuti

Limiti e continuita' per funzioni reali e vettoriali di piu' variabili reali.
Definizione di intorno di un punto di R^n, di insiemi limitati, aperti e chiusi. Funzioni di piu' variabili reali a valori reali e vettoriali: definizione di limite e continuita' in un punto per funzioni reali e vettoriali.Il Teorema di Weierstrass e il Teorema di Bolzano.

Calcolo differenziale per funzioni reali e vettoriali di piu' variabili reali.
Definizione di derivate parziali e direzionali, matrice jacobiana, gradiente, differenziale. L'equazione del piano tangente. Il teorema sulla differenziabilita' delle funzioni di classe C^1. Derivate parziali di una composizione di funzioni.
Derivate parziali di ordine superiore al primo. Il Teorema di Schwarz sulle derivate miste. La matrice Hessiana. La formula di Taylor al II ordine.Estremanti locali per funzioni reali di piu' variabili reali: definizioni, Teorema di Fermat, condizioni sufficienti basate sulla matrice Hessiana. Estremanti vincolati: il teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

Equazioni differenziali.
Il problema di Cauchy per equazioni differenziali. Teoremi di esistenza, unicita' delle soluzioni. Equazioni differenziali avariabili separabili, equazioni omogenee e di Bernoulli. Equazioni differenziali lineari del II ordine. Integrale generale nel caso omogeneo e in quello non omogeneo. Risoluzione nel caso dei coefficienti costanti.

Integrali multipli.
Integrali su domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Integrale triplo. Il Teorema di cambiamento di variabili. Formule di Gauss Green.

Curve regolari e integrali curvilinei
Definizione di curva regolare. Retta tangente ad una curva. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di una funzione scalare lungo una curva regolare: definizione e proprieta'. Curve regolari e regolari a tratti, lunghezza di una curva, integrale di una funzione su di una curva. L'integrale di un campo vettoriale su di una curva.

Campi vettoriali
Definizione di campo vettoriale. Integrale di un campo vettoriale continuo lungo una curva regolare orientata (lavoro). Campo vettoriale conservativo e potenziale di un campo conservativo. Campi vettoriali chiusi (o irrotazionali). Ricerca di un potenziale di un campo conservativo.

 

Serie Definizione, convergenza e assoluta convergenza; criteri di convergenza per le serie.

 

Numeri complessi.

 Definizione di numeri complessi e di operazioni tra numeri complessi.Forme algebrica, trigonometrica ed esponenziale.Le radici n-esime di un numero complesso.

Testi/Bibliografia

Fusco-Marcellini-Sbordone: Elementi di Analisi Matematica Due, Liguori Editore (versione semplificata) .
G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht: Elementi di Analisi Matematica, vol. 2, Zanichelli,

Esercizi:
Bramanti M.: Esercitazioni di Analisi Matematica 2 , Ed. Esculapio.

Metodi didattici

Il corso prevede lo svolgimento di lezioni di carattere teorico affiancate da esercitazioni che hanno
lo scopo di aiutare lo studente ad acquisire familiarità e padronanza con gli strumenti e metodi matematici introdotti durante le lezioni.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. Nella prova scritta viene richiesta la risoluzione di esercizi sulle varie parti del corso. L'accesso alla prova orale è consentito solamente a coloro che abbiano superato con la sufficienza la prova scritta.

Più precisamente, la verifica dell’apprendimento avviene attraverso un esame finale, che accerta l’acquisizione delle conoscenze e delle abilità attese tramite lo svolgimento di una prova scritta e di una prova orale orale senza l'aiuto di libri. La prova scritta consiste di norma di 6/7 esercizi. Per essere ammessi a sostenere la prova orale è necessario ottenere nella prova scritta un punteggio sufficiente.

La prova orale consiste in almeno tre domande che riguardano tutta la teoria.

Il superamento dell’esame sarà garantito agli studenti che dimostreranno padronanza e capacità operativa in relazione ai concetti chiave illustrati nell’insegnamento. Un punteggio più elevato sarà attribuito agli studenti che dimostreranno di aver compreso ed essere capaci di utilizzare tutti i contenuti dell’insegnamento illustrandoli con capacità di linguaggio, risolvendo problemi anche complessi. Il mancato superamento dell’esame potrà essere dovuto all’insufficiente conoscenza dei concetti chiave, alla mancata padronanza del linguaggio.

Strumenti a supporto della didattica

Esercizi, appunt, avvisi  ed altro materiale online  sul sito IOL https://iol.unibo.it/my/ 

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Maria Manfredini