27991 - ANALISI MATEMATICA T-1

Conoscenze e abilità da conseguire

Fornire una buona padronanza metodologica ed operativa degli aspetti istituzionali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile.

Contenuti

Contenuti Modulo 2

Introduzione. Cenni di logica e di teoria degli insiemi. Prodotto cartesiano. Definizione di funzione. Numeri naturali, interi, razionali e reali. Maggioranti e minoranti. Massimi e minimi. Estremo superiore e inferiore. Cenni sulla cardinalità. Intervalli aperti e chiusi. Esempi ed esercizi.

Numeri complessi. Unità immaginaria e definizione algebrica di numero complesso. Somma e prodotto tra numeri complessi. Inverso per la somma. Coniugato, modulo, significato geometrico del modulo. Inverso per il prodotto. Disuguaglianza triangolare. Espressione trigonometrica di un numero complesso. Formule di De Moivre. Funzione di Eulero. Teorema sulle radici di un numero complesso. Teorema fondamentale dell'algebra. Esempi e esercizi.

Successioni. Definizioni e proprietà. Definizione di limite. Successioni convergenti, divergenti, indeterminate. Sottosuccessioni. Unicità del limite. L'algebra dei limiti. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto e dei due carabinieri. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni limitate. Proprietà e teoremi. Infiniti e infinitesimi. Equivalenza asintotica e o-piccolo. Successioni monotone. Esistenza del limite per successioni monotone. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Criterio del rapporto. Criterio della radice. Teorema di Stoltz-Cesàro e i quattro criteri di Cesàro. Successioni di Cauchy.  Esempi ed esercizi.

Contenuti Modulo 1

Funzioni di variabile reale. Generalità: definizione di funzione, di dominio e di codominio, funzioni iniettive e biettive. Funzioni limitate superiormente, limitate inferiormente, limitate, periodiche, pari, dispari. Monotonie. Esempi, I: funzione potenza, funzione esponenziale, logaritmo, funzione parte intera, funzione parte frazionaria, funzioni trigonometriche, funzioni trigonometriche iperboliche, funzioni definite a tratti. Funzione composta e funzione inversa. Teorema sull'invertibilità di una funzione monotona (senza dimostrazione). Esempi, II: arcsin, arccos, arctg. Cenni di cardinalità. Definizione di limite. Unicità del limite. Limite destro e sinistro.  Teorema di collegamento: equivalenza fra le definizioni di limite per intorni e per successioni. L'algebra dei limiti. Teoremi della permanenza del segno. Teorema del confronto e dei due carabinieri. Funzioni limitate e monotone. Limiti per funzioni monotone. Funzioni continue. Definizioni ed esempi. Prime proprietà delle funzioni continue. Composizione di funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Funzioni uniformemente continue. Proprietà elementari delle funzioni. Esempi ed esercizi.

Calcolo differenziale. Definizione di funzione derivabile e di derivata di una funzione. Caratterizzazione delle funzioni derivabili. Legame tra derivabilità e continuità. Derivate di somme, prodotti e quozienti di funzioni derivabili. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Derivata delle funzioni elementari. Estremanti locali. Punti critici. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Teorema di Cauchy. Funzioni differenziabili su intervalli e monotonia. Teorema di Darboux. Teorema di de l'Hôpital. Derivate di ordine superiore. Determinazione di estremanti o flessi mediante derivate successive. Studio di grafici di funzioni. Funzioni polinomiali e proprietà. Formula di Taylor con resto di Peano. Formula di Taylor con resto di Lagrange. Polinomi di Taylor di funzioni elementari. Funzioni convesse. Teoremi e caratterizzazioni. Esempi ed esercizi.

Calcolo integrale.  Scomposizioni. Somme inferiori e superiori. Definizioni e proprietà. Integrale inferiore e superiore. Integrabilità secondo Riemann. Teorema di Riemann. Proprietà delle funzioni integrabili. Integrabilità di funzioni monotone, continue. Teorema della media integrale. Funzione integrale e primitive. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Primitive di funzioni razionali. Integrali generalizzati. Definizioni e proprietà. Criteri del confronto. Convergenza assoluta. Criteri di convergenza per funzioni a segno non costante. Esempi ed esercizi.

Serie numeriche.  Somme parziali. Definizioni e proprietà. Serie telescopiche. Serie geometrica. Criteri del confronto. Teorema di Cauchy. Criterio della radice. Criterio del rapporto. Criterio di condensazione di Cauchy. Criterio integrale. Convergenza assoluta. Criterio di Abel-Dirichlet. Criterio di Leibniz. Esempi ed esercizi.

Testi/Bibliografia

Testi per la parte teorica

Libro di testo principale

• G.C.Barozzi, G.Dore, E.Obrecht, Elementi di Analisi Matematica 1, Zanichelli.

Altri testi consigliati  

• P.Marcellini, C.Sbordone. Elementi di Analisi Matematica Uno,
  Liguori Editore.
• M.Bramanti, C.Pagani, S.Salsa. Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli Editore.
• E.Giusti. Analisi matematica 1, Bollati Boringhieri Editore.
• E.Lanconelli, Lezioni di Analisi Matematica 1, Pitagora

Eserciziari consigliati

• P.Marcellini, C.Sbordone. Esercitazioni di Matematica - I vol.,
  Liguori Editore.
• S.Salsa, A.Squellati. Esercizi di Analisi matematica Vol. 1,
  Zanichelli Editore.
• E.Giusti. Esercizi e complementi di analisi matematica,
  Bollati Boringhieri Editore.

Oltre agli eserciziari sopra elencati, gli studenti possono utilizzare qualsiasi testo di esercizi sugli argomenti del programma.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni tenute dai docenti del corso.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La modalità di verifica è costituta da una prova scritta e da una prova orale. L'ammissione alla prova orale è subordinata al superamento della prova scritta.

Strumenti a supporto della didattica

Risorse didattiche su Virtuale

Orario di ricevimento

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