27991 - ANALISI MATEMATICA T-1

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscenza degli strumenti matematici di base (limiti, derivate, integrali) per l'analisi qualitativa delle funzioni e la risoluzione di problemi applicativi.

Contenuti

• Premesse:

1. N,Z,Q,R, relazioni di ordine: minimo e massimo, estremi superiore e inferiore di un sottoinsieme di R. Densità di Q in R.
2. Dominio e condominio di una funzione, funzioni, grafico, iniettività, suriettività, immagine, controimmagine, funzione inversa, funzione composta. 
3. Funzioni elementari (funzione ad esponente intero, radice n-ma, esponenziale, logaritmo, funzioni circolari ed inverse, funzioni iperboliche, funzione valore assoluto).

• Numeri complessi Il campo dei numeri complessi, forma algebrica, modulo e argomento, forma trigonometrica, radici(*), equazioni algebriche in campo complesso.
• Limiti

1. Intorni, punti di accumulazione.
2. Limiti finiti e infiniti di funzioni di variabile reale a valori reali, limite destro e sinistro.
3. Proprietà del limite: unicità, località, locale limitatezza; proprietà algebriche del limite e teorema del confronto. Limiti di funzioni monotone.
4. Forme indeterminate: infiniti e infinitesimi. Simboli di Landau.
5. Limiti notevoli (*).

• Continuità

1. Funzioni continue di variabile reale a valori in R. Continuità della funzione composta. Permanenza del segno.
2. Proprietà delle funzioni continue definite su intervalli: teorema di Weierstrass, teorema di Bolzano, teorema degli zeri (*), teorema su invertibilità e monotonia, teorema di continuità della funzione inversa.

• Derivazione e applicazioni

1. Interpretazione geometrica e meccanica della derivata, derivate di ordine superiore, derivate delle funzioni elementari.
2. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni(*), regola di Leibniz(*), derivata della funzione reciproca(*), derivata della funzione inversa(*), derivata della funzione composta.
3. Proprietà delle funzioni derivabili su intervalli: teorema di Rolle(*), teorema di Lagrange, funzioni a derivata nulla e funzioni costanti(*), primitiva, teorema su monotonia e segno della derivata(*). Teorema di de l'Hopital per forme indeterminate.
4. Funzioni convesse: definizione e interpretazione geometrica, teorema su convessità e monotonia della derivata prima, teorema su convessità e segno della derivata seconda.
5. Approssimazione delle funzioni regolari con la formula di Taylor. Polinomio di Taylor, unicità del polinomio di grado minore o uguale a n che approssima una funzione all'ordine n(*), formula di Taylor con il resto di Peano (dimostrazione nei casi n=1 e n=2), proprietà delle derivate del polinomio di Taylor; formula di Taylor con il resto di Lagrange, formula di Taylor delle funzioni elementari: exp(x) (*), cos(x) (*), sin(x) (*), cosh(x)(*),senh(x)(*), (1+x)^a(*), 1/(1-x) (*), 1/(1+x)(*), 1/(1-x^2)(*), 1/(1+x^2)*, log(1+x) (*), applicazione ai limiti di forme indeterminate.
6. Analisi qualitativa delle funzioni. Asintoti: verticale, orizzontale, obliquo; punti singolari di prima e seconda specie, punti angolosi, cuspidi, punti estremanti locali, punti stazionari, i punti estremanti interni sono stazionari(*), condizioni sufficienti (mediante le derivate) perché un punto sia estremante locale(*), punti di flesso: definizione e interpretazione geometrica, condizioni necessarie e condizioni sufficienti (mediante le derivate) perchè un punto sia di flesso.

• Integrazione e applicazioni

1. Definizione di integrale di Riemann per funzioni limitate definite su intervalli limitati e chiusi. Proprietà dell'integrale: linearità, monotonia, additività.
2. Classificazione delle funzioni integrabili secondo Riemann su intervalli limitati e chiusi (funzioni continue tranne un numero finito di punti; funzioni monotone). La funzione di Dirichlet. Teorema della media integrale(*).
3. Funzione integrale e funzione primitiva. Il teorema fondamentale del calcolo integrale per le funzioni continue(*). Regola di Torricelli(*). Teorema di integrazione per parti (*) e teorema di integrazione per sostituzione(*).
4. Integrazione delle funzioni razionali.
5. Integrale di Riemann generalizzato. Criterio del confronto per la convergenza dell'integrale generalizzato di una funzione positiva. Sommabilità di 1/x^a(*).

• Equazioni differenziali

1. Introduzione, problema di Cauchy e principio di causalità.
2. Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti continui di ordine n: esistenza e regolarità globali delle soluzioni, principio di sovrapposizione delle soluzioni (*), caratterizzazione dell'insieme delle soluzioni come spazio vettoriale, teorema del Wronskiano (con dimostrazione nel caso n=2). Integrale generale di un'equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti.
3. Equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti e termine noto continui: esistenza e regolarità globali, integrale generale. Integrale generale e risoluzione del problema di Cauchy per le equazioni differenziali lineari del I ordine: y'=a(t)y+b(t). Metodi per la ricerca dell'integrale particolare di un'equazione differenziale lineare non omogenea: metodo per simpatia (lineare omogenea a cofficienti costanti, termine noto del tipo exp(at), t^k, cos(bt), sin(ct)) e metodo di variazione delle costanti (caso n=2(*)).
4. Equazioni differenziali a variabili separabili: risoluzione del problema di Cauchy.

Testi/Bibliografia

Simonetta Abenda : Analisi Matematica (Esculapio)
Simonetta Abenda: Esercizi di Analisi Matematica (Esculapio)

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame si svolge in forma scritta e consta di due parti da sostenere nello stesso appello.

Nella prima parte lo studente risolve esercizi a risposta multipla e guidata.
Nella seconda parte svolge per esteso uno degli esercizi a risposta multipla del proprio compito e risponde a due quesiti di teoria.

E' proibito l'uso di qualunque dispositivo elettronico collegato alla rete internet durante la prova d'esame pena l'annullamento della prova d'esame stessa.

Il punteggio finale è la somma algebrica dei punteggi ottenuti nelle due parti e viene pubblicato su Almaesami.

I punteggi dei singoli esercizi e le soglie di ammissione sono pubblicate anche sulla mia pagina web docente.
Gli studenti possono presentarsi a tutti gli appelli.
Le date degli esami sono pubblicate su Almaesami.

E' obbligatoria l'iscrizione su Almaesami ad entrambe le parti dell'esame.

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Informazioni dettagliate sulla modalità dell'esame

Parte A (durata 2 ore 30 minuti): Consiste in esercizi a risposta multipla ed a risposta guidata. Durante la parte A, lo studente può consultare i propri libri di testo e gli appunti e può utilizzare una calcolatrice non programmabile. E' vietato l'uso di qualunque altro dispositivo elettronico. Il punteggio massimo di questa prova è 16. Lo studente che raggiunge la soglia di ammissione (indicativamente 6.5/16) è ammesso alla parte B.

Gli esercizi a risposta multipla valgono: +2 (risposta corretta), 0 (risposta non data) -0.5 (risposta errata)

Esercizio a risposta guidata: da 0 a 4.

Parte B (durata 1 ora). Lo studente può portare con sé solo la penna, svolge per esteso un esercizio a risposta multipla del proprio compito ed espone due argomenti di teoria seguendo la traccia assegnata dalla docente. Il punteggio massimo di questa parte è 21.

Ogni quesito vale da -3 (risposta non data o fuori tema) a 7.

Voto e verbalizzazione: Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi ottenuti nelle due prove. I punteggi superiori a 30/30 saranno registrati come 30/30 e lode su Almaesami.

Al termine della correzione delle prove scritte, viene fissato un apposito ricevimento studenti per la visione dei compiti e, al termine di tale ricevimento, la Commissione procede a verbalizzare tutti i voti validi.

Per rifiutare il voto è sufficiente inviare una e-mail alla docente dalla propria casella di posta studio.unibo.it oppure comunicarlo verbalmente il giorno stesso della visione compiti.

Calendario delle prove d'esame: è pubblicato su Almaesami e visibile alla pagina web del Corso di Studi dedicata agli appelli d'esame.

Ulteriori informazioni sulle prove d'esame sono disponibili nel sito web docente: http://www.unibo.it/docenti/simonetta.abenda

I testi tipo di alcune prove d'esame parte A sono disponibili su Alma Campus.

Strumenti a supporto della didattica

I testi di alcune prove d'esame della parte A sono disponibili su Alma Campus.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Simonetta Abenda