Anno Accademico 2018/2019
- Docente: Simonetta Abenda
- Crediti formativi: 9
- SSD: MAT/05
- Lingua di insegnamento: Italiano
- Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza
- Campus: Bologna
- Corso: Laurea in Ingegneria informatica (cod. 9254)
Conoscenze e abilità da conseguire
Conoscenza degli strumenti matematici di base (limiti, derivate, integrali) per l'analisi qualitativa delle funzioni e la risoluzione di problemi applicativi.
Contenuti
- Premesse:
- N,Z,Q,R, relazioni di ordine: minimo e massimo, estremi superiore e inferiore di un sottoinsieme di R. Densità di Q in R.
- Dominio e condominio di una funzione, funzioni, grafico, iniettività, suriettività, immagine, controimmagine, funzione inversa, funzione composta.
- Funzioni elementari (funzione ad esponente intero, radice n-ma, esponenziale, logaritmo, funzioni circolari ed inverse, funzioni iperboliche, funzione valore assoluto).
- Numeri complessi Il campo dei numeri complessi, forma algebrica, modulo e argomento, forma trigonometrica, radici(*), equazioni algebriche in campo complesso.
- Limiti
- Intorni, punti di accumulazione.
- Limiti finiti e infiniti di funzioni di variabile reale a valori reali, limite destro e sinistro.
- Proprietà del limite: unicità, località, locale limitatezza; proprietà algebriche del limite e teorema del confronto. Limiti di funzioni monotone.
- Forme indeterminate: infiniti e infinitesimi. Simboli di Landau.
- Limiti notevoli (*).
- Continuità
- Funzioni continue di variabile reale a valori in R. Continuità della funzione composta. Permanenza del segno.
- Proprietà delle funzioni continue definite su intervalli: teorema di Weierstrass, teorema di Bolzano, teorema degli zeri (*), teorema su invertibilità e monotonia, teorema di continuità della funzione inversa.
- Derivazione e applicazioni
- Interpretazione geometrica e meccanica della derivata, derivate di ordine superiore, derivate delle funzioni elementari.
- Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni(*), regola di Leibniz(*), derivata della funzione reciproca(*), derivata della funzione inversa(*), derivata della funzione composta.
- Proprietà delle funzioni derivabili su intervalli: teorema di Rolle(*), teorema di Lagrange, funzioni a derivata nulla e funzioni costanti(*), primitiva, teorema su monotonia e segno della derivata(*). Teorema di de l'Hopital per forme indeterminate.
- Funzioni convesse: definizione e interpretazione geometrica, teorema su convessità e monotonia della derivata prima, teorema su convessità e segno della derivata seconda.
- Approssimazione delle funzioni regolari con la formula di Taylor. Polinomio di Taylor, unicità del polinomio di grado minore o uguale a n che approssima una funzione all'ordine n(*), formula di Taylor con il resto di Peano (dimostrazione nei casi n=1 e n=2), proprietà delle derivate del polinomio di Taylor; formula di Taylor con il resto di Lagrange, formula di Taylor delle funzioni elementari: exp(x) (*), cos(x) (*), sin(x) (*), cosh(x)(*),senh(x)(*), (1+x)^a(*), 1/(1-x) (*), 1/(1+x)(*), 1/(1-x^2)(*), 1/(1+x^2)*, log(1+x) (*), applicazione ai limiti di forme indeterminate.
- Analisi qualitativa delle funzioni. Asintoti: verticale, orizzontale, obliquo; punti singolari di prima e seconda specie, punti angolosi, cuspidi, punti estremanti locali, punti stazionari, i punti estremanti interni sono stazionari(*), condizioni sufficienti (mediante le derivate) perché un punto sia estremante locale(*), punti di flesso: definizione e interpretazione geometrica, condizioni necessarie e condizioni sufficienti (mediante le derivate) perchè un punto sia di flesso.
- Integrazione e applicazioni
- Definizione di integrale di Riemann per funzioni limitate definite su intervalli limitati e chiusi. Proprietà dell'integrale: linearità, monotonia, additività.
- Classificazione delle funzioni integrabili secondo Riemann su intervalli limitati e chiusi (funzioni continue tranne un numero finito di punti; funzioni monotone). La funzione di Dirichlet. Teorema della media integrale(*).
- Funzione integrale e funzione primitiva. Il teorema fondamentale del calcolo integrale per le funzioni continue(*). Regola di Torricelli(*). Teorema di integrazione per parti (*) e teorema di integrazione per sostituzione(*).
- Integrazione delle funzioni razionali.
- Integrale di Riemann generalizzato. Criterio del confronto per la convergenza dell'integrale generalizzato di una funzione positiva. Sommabilità di 1/x^a(*).
- Equazioni differenziali
- Introduzione, problema di Cauchy e principio di causalità.
- Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti continui di ordine n: esistenza e regolarità globali delle soluzioni, principio di sovrapposizione delle soluzioni (*), caratterizzazione dell'insieme delle soluzioni come spazio vettoriale, teorema del Wronskiano (con dimostrazione nel caso n=2). Integrale generale di un'equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti.
- Equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti e termine noto continui: esistenza e regolarità globali, integrale generale. Integrale generale e risoluzione del problema di Cauchy per le equazioni differenziali lineari del I ordine: y'=a(t)y+b(t). Metodi per la ricerca dell'integrale particolare di un'equazione differenziale lineare non omogenea: metodo per simpatia (lineare omogenea a cofficienti costanti, termine noto del tipo exp(at), t^k, cos(bt), sin(ct)) e metodo di variazione delle costanti (caso n=2(*)).
- Equazioni differenziali a variabili separabili: risoluzione del problema di Cauchy.
Testi/Bibliografia
Simonetta Abenda : Analisi Matematica (Esculapio)
Simonetta Abenda: Esercizi di Analisi Matematica (Esculapio)
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni frontali
Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento
L'esame si svolge in forma scritta e consta di due parti da sostenere nello stesso appello.
Nella prima parte lo studente risolve esercizi a risposta multipla e guidata.
Nella seconda parte svolge per esteso uno degli esercizi a risposta multipla del proprio compito e risponde a due quesiti di teoria.
E' proibito l'uso di qualunque dispositivo elettronico collegato alla rete internet durante la prova d'esame pena l'annullamento della prova d'esame stessa.
Il punteggio finale è la somma algebrica dei punteggi ottenuti nelle due parti e viene pubblicato su Almaesami.
I punteggi dei singoli esercizi e le soglie di ammissione sono pubblicate anche sulla mia pagina web docente.
Gli studenti possono presentarsi a tutti gli appelli.
Le date degli esami sono pubblicate su Almaesami.
E' obbligatoria l'iscrizione su Almaesami ad entrambe le parti dell'esame.
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Informazioni dettagliate sulla modalità dell'esame
Parte A (durata 2 ore 30 minuti): Consiste in esercizi a risposta multipla ed a risposta guidata. Durante la parte A, lo studente può consultare i propri libri di testo e gli appunti e può utilizzare una calcolatrice non programmabile. E' vietato l'uso di qualunque altro dispositivo elettronico. Il punteggio massimo di questa prova è 16. Lo studente che raggiunge la soglia di ammissione (indicativamente 6.5/16) è ammesso alla parte B.
Gli esercizi a risposta multipla valgono: +2 (risposta corretta), 0 (risposta non data) -0.5 (risposta errata)
Esercizio a risposta guidata: da 0 a 4.
Parte B (durata 1 ora). Lo studente può portare con sé solo la penna, svolge per esteso un esercizio a risposta multipla del proprio compito ed espone due argomenti di teoria seguendo la traccia assegnata dalla docente. Il punteggio massimo di questa parte è 21.
Ogni quesito vale da -3 (risposta non data o fuori tema) a 7.
Voto e verbalizzazione: Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi ottenuti nelle due prove. I punteggi superiori a 30/30 saranno registrati come 30/30 e lode su Almaesami.
Al termine della correzione delle prove scritte, viene fissato un apposito ricevimento studenti per la visione dei compiti e, al termine di tale ricevimento, la Commissione procede a verbalizzare tutti i voti validi.
Per rifiutare il voto è sufficiente inviare una e-mail alla docente dalla propria casella di posta studio.unibo.it oppure comunicarlo verbalmente il giorno stesso della visione compiti.
Calendario delle prove d'esame: è pubblicato su Almaesami e visibile alla pagina web del Corso di Studi dedicata agli appelli d'esame.
Ulteriori informazioni sulle prove d'esame sono disponibili nel sito web docente: http://www.unibo.it/docenti/simonetta.abenda
I testi tipo di alcune prove d'esame parte A sono disponibili su Alma Campus.
Strumenti a supporto della didattica
I testi di alcune prove d'esame della parte A sono disponibili su Alma Campus.
Orario di ricevimento
Consulta il sito web di Simonetta Abenda