00679 - MATEMATICA GENERALE

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente: - conosce i fondamenti dell'algebra lineare e della teoria dei limiti e delle successioni. Lo studente è in grado di risolvere un sistema di equazioni lineari di primo grado e di calcolare i limiti delle successioni e delle funzioni più importanti; - conosce gli elementi di calcolo differenziale ed integrale ed è in grado di applicarli alla risoluzione di semplici problemi teorico-pratici ed alla formulazione ed interpretazione dei modelli matematici dell'economia, dell'azienda e della finanza.

Contenuti

0. I prerequisiti sono quelli inclusi nel programma della prova di ammissione e nel corso di allineamento, in parte ripresi sistematicamente nel programma. A titolo esemplificativo, essi comprendono le nozioni fondamentali su: -insiemi numerici;
-geometria elementare (del piano e dello spazio; misurazione di aree e volumi; geometria analitica)
-algebra (equazioni e calcolo letterale)
-funzioni numeriche (potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni goniometriche).

1.  Strutture numeriche. Il linguaggio insiemistico: unione, intersezione, relazioni, funzioni. Numeri naturali, interi; razionali e reali (intervalli, operazioni e disuguaglianze: valor assoluto).   Numeri naturali: induzione, fattoriali e coefficienti binomiali.

2. Sistemi lineari e matrici.  Lo spazio R^n; vettori numerici. Matrici. Somma e prodotto di matrici. Trasposta di una matrice, matrici simmetriche. Matrici quadrate. Matrice identita'. L'algebra delle matrici quadrate. Matrici invertibili. Determinante, formula di Laplace, teorema di Binet. Calcolo della matrice inversa.
Operazioni elementari per riga sulle matrici. Matrici a gradini. Algoritmo di Gauss.
Sistemi lineari di m equazioni in n incognite omogenei e non omogenei. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari sui sistemi lineari. Risoluzione dei sistemi lineari. Teorema di Rouché-Capelli.
Sistemi lineari quadrati: teorema e regola di Cramer.

3. Successioni e serie numeriche.
Completezza del campo R dei numeri reali. Estremo superiore e inferiore, massimo e minimo di un insieme di numeri reali.
Successioni e serie: limite di una successione, somma di una serie. Successioni limitate e monotone. Serie geometriche, serie a termini positivi: criteri della radice e del rapporto.

4. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale.
4A. Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni elementari. Insieme di esistenza. Grafico delle funzioni elementari. Funzioni pari e dispari. Estremi ed estremanti, relativi ed assoluti. Funzioni limitate. Funzioni monotone. Composizione di funzioni. Funzioni invertibili. Trasformazioni elementari di grafici di funzioni.
4B. Definizione di limite. Teoremi fondamentali sui limiti. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Il "numero di Nepero e". Funzioni continue. Teorema dell'esistenza degli zeri (o di Bolzano). Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Invertibilità , monotonia e continuità .
4C. Rapporto incrementale e derivata. Significato geometrico della derivata. Elasticità. Funzioni derivabili.
Continuità  delle funzioni derivabili. Derivate delle funzioni elementari. Derivata della somma, del prodotto e del quoziente di due funzioni derivabili. Derivata della composizione di funzioni derivabili. Derivata dell'inversa di una funzione derivabile.
Teoremi di Rolle, di Lagrange, di Cauchy. Corollari del teorema di Lagrange: test di monotonia, caratterizzazione delle funzioni costanti, teorema del limite della derivata. Teoremi di De l'Hospital.
Derivate di ordine superiore. Ricerca dei punti di massimo e minimo assoluti e relativi. Teorema di Fermat (condizione necessaria per l'esistenza di punti di minimo e massimo relativi). Condizioni sufficienti per l'esistenza di punti di minimo e massimo relativi. Concavità , convessità . Punti di flesso. Studio del grafico di una funzione.
Polinomi di Taylor e di MacLaurin.

5. Calcolo differenziale in due o piu' variabili
Spazi euclidei: prodotto interno, norma, distanza; insiemi limitati, aperti chiusi. Limiti e continuità in più variabili.  Primi elementi di calcolo differenziale per funzioni di due o più variabili, derivate parziali, funzioni differenziabili; gradiente e matrice hessiana, punti di massimo e di minimo, moltiplicatori di Lagrange (estremi vincolati). Determinazione dei minimi e massimi (liberi o vincolati) di una funzione di due variabili con il metodo della matrice hessiana.

6. Integrazione di funzioni di una variabile.
Definizione secondo Riemann dell'integrale di una funzione limitata su un intervallo chiuso e limitato. Significato geometrico (area) dell'integrale. Funzioni integrabili. Integrabilità  delle funzioni monotòne e delle funzioni continue. Linearità  e monotonìa dell'integrale. Additività  rispetto all'intervallo d'integrazione.
Valor medio integrale. Teorema del valor medio integrale per funzioni continue in un intervallo.
Funzioni integrali di una funzione integrabile, loro proprietà. Primitive di una funzione: teorema fondamentale del calcolo e regola di Torricelli. Calcolo delle primitive di una funzione continua: primitive immediate, integrazione per scomposizione, per parti e per sostituzione. Integrazione di alcune funzioni razionali fratte. Integrali generalizzati.
Cenno sulle equazioni differenziali ordinarie, metodi risolutivi per equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e lineari.

Testi/Bibliografia

Testo di riferimento generale:
Ritelli, Bergamini, Trifone: Fondamenti di Matematica, Zanichelli, Bologna, 2005.
Per gli argomenti specifici ci si può riferire a:
Plazzi, Ritelli: Elementi di calcolo in piu' variabili, Pitagora Editrice, Bologna, 1996 (per questo argomento sono in preparazione delle dispense)
Barnabei-Bonetti, Sistemi lineari e matrici, Pitagora Editrice.

Un altro manuale che contiene un corso completo di Matematica Generale è: 
Guerraggio, Matematica, Pearson-prentice-Hall (2a ed.)

I testi indicati hanno sezioni di esercizi; per questi si possono vedere anche
Mulazzani, Di Fabio: Prove d'esame risolte di Matematica Generale per il corso di Laurea in Economia Aziendale, Esculapio, Bologna, 2013.
E. Franchini, A. Gambini: Esercizi di Matematica per il corso di Matematica Generale della Facolta' di Economia, Esculapio, Bologna, 2010.
Sono disponibili inoltre (Pitagora Ed.) quaderni con esercizi risolti e commentati; altri eserciziari con sunto di teoria nella collana SCHAUM (McGraw-Hill).
Materiale didattico del docente sarà disponibile sul sito iol.unibo.it


Per le conoscenze di base si veda infine la bibliografia specifica del il corso di allineamento.





Un testo specificamente indirizzato alla matematica per l'Economia Aziendale è: ST. WANER-ST. R. COSTENOBLE, Strumenti quantitativi per la gestione Aziendale, Apogeo.

Sono disponibili (Pitagora Ed.) quaderni con esercizi risolti e commentati; in particolare si segnala per il punto 3 l'eserciziario, con sunto di teoria,  Altri eserciziari con sunto di teoria nella collana SCHAUM (McGraw-Hill).

Metodi didattici

Lezioni accompagnate da esercitazioni in stretta connessione con la teoria. Di ogni argomento trattato sono state messe in evidenza motivazioni ed applicazioni su argomenti statistici, economici o finanziari. Esercitazioni riepilogative. Corso di allineamento introduttivo e laboratori di supporto.
Esposizione dei concetti, esempi illustrativi. Esposizione e dimostrazione dei teoremi e delle tecniche di calcolo.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Prova scritta obbligatoria. Prova orale facoltativa.

Prove parziali: Durante lo svolgimetre nto del corso, al termine dei tre subcicli, si terranno tre prove parziali scritte su quanto svolto precedentemente a lezione (rispettivamente ai punti 1, 2 e 3; 4; 5 e 6 del programma), sostitutive delle prove scritte finali; per le regole specifiche, vedere la pagina web del docente. Sono comunque previste prove di recupero per le singole prove parziali, a cui possono accedere, previa iscrizione alle apposite liste sul sito AlmaEsami, gli studenti immatricolati nell'a.a. corrente. a parte casi particolari. La media ottenuta nelle prove parziali vale come punteggio ottenuto in una prova totale: per esse sono previsti tre appelli ordinari a fine corso.

Tutte e prove scritte sono articolate in quiz e in esercizi a svolgimento, in cui vengono valutate le motivazioni del procedimento e l'esposizione di esse.

Strumenti a supporto della didattica

Lezioni ed esercitazioni alla lavagna: le esercitazioni, tenute da un tutor, sono un supporto importante a quanto svolto nel corso, a cui sono coordinate.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Piero Plazzi