00674 - MATEMATICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente possiede gli strumenti del calcolo differenziale ed integrale di una variabile, conosce i metodi più elementari per la risoluzione di equazioni differenziali del primo ordine e utilizza gli strumenti elementari della geometria analitica tridimensionale. In particolare, lo studente è in grado di eseguire applicazioni del calcolo differenziale ed integrale di una variabile reale (quali per esempio disegno di un grafico, calcolo di aree di domini planari), di risolvere semplici equazioni differenziali di primo ordine, di eseguire applicazioni della geometria analitica dello spazio (ad esempio descrizione di rette e piani).

Contenuti

Ripasso di nozioni fondamentali. Notazioni di base di teoria degli insiemi; quantificatori logici. Terminologia per gli insiemi di R. Definizione di funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Funzione inversa. Dominio naturale. Prodotto cartesiano di due insiemi. Corrispondenza fra R^2 e i punti di un piano cartesiano.

Funzioni di una variabile reale. Determinazione del dominio. Grafico di una funzione e determinazione dell'insieme immagine di una funzione a partire dal grafico. Criterio delle rette verticali e criterio delle rette orizzontali. Traslazione di grafici.

Cenni di geometria analitica. Vettori in tre dimensioni. Sistemi di coordinate tridimensionali. Il prodotto scalare e vettoriale. Equazioni di linee e piani nello spazio. Distanza di un punto da una retta e da un piano.

Sistemi di equazioni lineari. Matrici e approccio matriciale alla soluzione di un sistema lineare. Fondamenti di algebra delle matrici; determinante e matrice inversa. Regola di Cramer.

Funzioni trigonometriche. Angoli in radianti; definizione di coseno, seno e tangente. Funzioni pari e dispari.

Identità fondamentale della trigonometria. Formule di addizione e sottrazione. Funzioni trigonometriche inverse: arcoseno, arcocoseno e arcotangente. Interpretazione geometrica della tangente.

Esponenziali e logaritmi. Potenze con esponente reale. Esponenziali e logaritmi naturali e formule di conversione.

Calcolo infinitesimale. Introduzione al concetto di limite. Intorno di un punto.

Definizione di limite. Forme indeterminate. Tecnica per i limiti a zero di funzioni razionali e simili. Teorema dei due carabinieri. Limiti notevoli. Continuità.

Composizione di funzioni. Concetto di composizione di funzione e composizione di funzioni continue.

Derivate. Definizione, interpretazione geometrica con particolare riferimento alla retta tangente ad una curva; discussione su significato e utilità della derivata in vari contesti. Calcolo di derivate delle funzioni più comuni; linearità dell’operatore di derivazione; derivata di prodotti e quozienti di funzioni; derivata di funzioni composte. Cenno alla differenziazione implicita. Derivate di funzioni trigonometriche e delle loro inverse.

Grafico di funzioni. Definizione di massimo e minimo locali; utilizzo della derivata per l'identificazione dei massimi e minimi locali; punti critici e loro classificazione; test della derivata prima; punti di flesso; concavità e convessità; test della derivata seconda. Linee guida per tracciare il grafico qualitativo di una funzione.

Applicazioni delle derivate. Regola di De L’Hopital; tasso di variazione medio e istantaneo di una quantità. Teorema del valore medio.

Integrali indefiniti e definiti. Teorema fondamentale del calcolo integrale.  Definizione di antiderivata (primitiva) e tecniche fondamentali per il loro calcolo. Tecniche di integrazione: integrazione per sostituzione ed integrazione per parti.

Cenno alle equazioni differenziali, con l'esempio del modello di crescita esponenziale.

Testi/Bibliografia

Un buon testo di riferimento, che però non esclude la necessità di procurarsi buoni appunti delle lezioni, è:

• M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, "Matematica: calcolo infinitesimale e algebra lineare", II ed., Zanichelli, 2004

Un valido aiuto per gli esercizi è il libro:

• S. Salsa, A. Squellati, "Esercizi di matematica: calcolo infinitesimale e algebra lineare. Vol. 1", Zanichelli, 2001

Metodi didattici

Lezioni in aula, da seguire in presenza o via web (soggetto a modifiche in base alle direttive dell'Ateneo).

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Prova orale con svolgimento congiunto di esercizi. La prova orale e` importante poiche' permette allo studente di dimostrare la comprensione degli argomenti del corso e dialogare con il docente usando la terminologia scientifica appropriata. Inoltre durante la prova orale lo studente ha la possibilita` di eventualmente correggere una sua asserzione sbagliata, grazie all'interazione con il docente che lo stimola a ragionare. La durata e` direttamente proporzionale all'emotivita` dello studente ed inversamente proporzionale alla sua preparazione.

Strumenti a supporto della didattica

• Note della lezione o altro materiale in formato elettronico (slides) illustrato durante le lezioni (tutto il materiale è reso disponibilie sulla piattaforma web di Ateneo). Queste risorse includono sia teoria che esercizi.
  
• Uso di GeoGebra e Reduce
  
• 20 ore di sessioni facoltative di risoluzione di esercizi presiedute dalla Prof.ssa Maria Grazia Corzani come tutor.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Maria Clara Nucci