28357 - ALGEBRA 1 (A-L)

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente ha acquisito familiarità con nozioni quali quelle di relazione di equivalenza, cardinalità, gruppo, sottogruppo normale. Conosce i gruppi ciclici, simmetrici, diedrali ed altre famiglie di gruppi; sa stabilire se due gruppi siano tra loro isomorfi. E' capace di applicare in modo autonomo tali conoscenze per dimostrare enunciati algebrici con un linguaggio rigoroso.

Contenuti

Operazioni tra insiemi; insieme delle parti e prodotto cartesiano, loro cardinalità. Relazioni, relazioni d'equivalenza; relazioni d'ordine totale e parziale, loro diagramma di Hasse. Esempi: divisibilità e congruenza tra numeri interi. Classi di equivalenza, insieme quoziente. Esempio: Z/n. Partizioni di un insieme, legami con le relazioni di equivalenza. Applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche; esempi; composizione di funzioni e loro inversa; relazione d'equivalenza sul dominio di una funzione e biezione tra l'insieme quoziente associato e l'immagine della funzione.

Assiomi di Peano per i numeri naturali; principio di induzione. Esempi di dimostrazione per induzione. Costruzione dei numeri interi, razionali, cenni alla costruzione dei numeri reali. Costruzione dei numeri complessi, cenni al teorema fondamentale dell'algebra; inverso di un numero complesso. Definizione di somma e prodotto su Z/n; esempi. Nozione di anello, campo, dominio di integrità: esempi. Applicazioni delle congruenze. Criteri di divisibilità per 3, 9, 11; criteri di divisibilità per 2,5,10 e loro potenze. Scrittura di un numero in altre basi, criteri di divisibilità in altre basi. Introduzione alla combinatoria: numero di applicazioni e numero di applicazioni iniettive (o biunivoche) tra due insiemi finiti. Coefficienti binomiali, loro proprietà e loro interpretazioni combinatorie: sottoinsiemi di cardinalità data, binomio di Newton, partizione di un intero positivo in interi positivi, cammini di lunghezza minima su una griglia.

Nozione di "avere la stessa cardinalita'" e "avere cardinalita' inferiore o uguale" tra insiemi infiniti. Se esistono applicazioni iniettive da A a B e da B ad A, allora esiste una biezione tra A e B (la dimostrazione non fa parte del programma d'esame). Insiemi numerabili. Il prodotto cartesiano di due insiemi numerabili e' numerabile; l'unione di una infinita' numerabile di insiemi numerabili e' numerabile; Z, Q, Z^n, Q^n sono numerabili; l'insieme delle parole di lunghezza finita su un alfabeto numerabile è numerabile. Insieme di Cantor. Nessun insieme e' in biezione con il proprio insieme delle parti; L'insieme delle successioni binarie non e' numerabile; l'insieme delle parti dei numeri naturali non e' numerabile (seconda dimostrazione); l'insieme di Cantor non è numerabile. L'intervallo aperto ]0,1[ è in biezione con l'insieme delle successioni binarie, e dunque non è numerabile. L'insieme dei numeri reali R non è numerabile. R è in biezione con R^2.

Numeri primi e numeri irriducibili; i primi sono irriducibili. La divisione con resto in Z. MCD tra due numeri interi e sua esistenza. Algoritmo di Euclide, identità di Bèzout; esempi. Equazioni diofantee. Gli irriducibili sono primi. Una classe [a] è invertibile in Z/n se e solo se MCD(a,n)=1; dunque Z/n è un campo se e solo se n è primo. Esempio di calcolo dell'inversa. Il teorema fondamentale dell'aritmetica. Infinità di numeri primi. Piccolo teorema di Fermat; un altro modo per trovare l'inversa di una classe in Z/p.

Teorema cinese del resto. Funzione di Eulero e sue proprietà. Teorema di Eulero. Risoluzione di congruenze lineari; esempi. Sistemi di congruenze lineari: esistenza e "unicità" delle soluzioni; risoluzione tramite identità di Bézout. Generalizzazione del piccolo teorema di Fermat agli interi liberi da quadrati. Introduzione alla crittografia. Il metodo RSA. Esempi.

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Definizione di gruppo; gruppi commutativi e non commutativi. Esempi e controesempi di gruppi rispetto a somma, prodotto e composizione. Il gruppo delle biezioni di un insieme con stesso. Il gruppo degli invertibili di Zn e il gruppo GL(V) degli isomorfismi di uno spazio vettoriale con sé stesso. Leggi di cancellazione, unicità dell'elemento neutro e degli inversi. Sottogruppi: esempi e proprietà. Ordine di un elemento; esempi. Omomorfismi di gruppi e loro propietà. Esempi: funzione esponenziale da R a R*, e da Z a C_4={i,-1,-i,1}. Legame con campi, spazi vettoriali, sottospazi, applicazioni lineari. Nucleo e immagine di un omomorfismo, loro proprietà. Isomorfismi di gruppi; esempi e controesempi. Essere isomorfi è una relazione di equivalenza; gruppo Aut(G) degli automorfismi di un gruppo. II gruppo R_n delle rotazioni di angoli multipli di 360/n. Il gruppo K_4 delle simmetrie di un rettangolo.

L'intersezione di sottogruppi è un sottogruppo. Sottogruppo generato da un sottoinsieme; esempi di gruppi generati da n elementi e da infiniti elementi. Gruppi ciclici; loro classificazione. Classificazione dei sottogruppi di Z e di Z/n; ordine degli elementi di Z e Z/n. Prodotto diretto di gruppi. La biezione del teorema cinese del resto è un isomorfismo. Se f: G-->H è un omomorfismo, l'ordine di ogni g in G e' divisibile per l'ordine di f(g); se f è un isomorfismo, l'ordine di ogni g in G è uguale all'ordine di f(g); esempi. Omomorfismi da un gruppo ciclico a un gruppo qualsiasi. I gruppi diedrali: rotazioni e simmetrie. Generatori; prodotto di due elementi qualsiasi del gruppo diedrale. Immersione del gruppo diedrale nel gruppo simmetrico. Teorema di Cayley; esempi.

Gruppo simmetrico. Orbite e cicli di una permutazione. Fattorizzazione di una permutazione nel prodotto di cicli disgiunti; conseguente notazione per gli elementi del gruppo simmetrico. Ordine di una permutazione.
Ogni permutazione è prodotto di trasposizioni. Ogni trasposizione è prodotto di trasposizioni semplici, e quindi il gruppo simmetrico è generato dalle trasposizioni semplici. Un altro insieme di generatori per il gruppo simmetrico. Simplessi; il gruppo del tetraedro è S4, il gruppo del simplesso è Sn. Esempi.

Permutazioni pari e dispari, teorema: una permutazione non può essere sia pari che dispari. Segno di una permutazione. Sottogruppo delle permutazioni pari, esempi. Coniugio e sue proprietà; essere coniugati è una relazione di equivalenza. Coniugio nel gruppo diedrale.Coniugio nel gruppo simmetrico; partizioni; due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica. Classi di coniugio e partizioni di un numero naturale. Esempio: strutture cicliche in S3 e S4, loro cardinalità, ordine e segno.

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Laterali sinistri e destri di un sottogruppo, esempi. I laterali formano una partizione, e ciascuno ha la stessa cardinalità del sottogruppo. Indice di un sottogruppo; teorema di Lagrange; sue applicazioni: l'ordine di un elemento divide la cardinalità del gruppo, ogni gruppo di cardinalità un primo è ciclico, teorema di Eulero. Esempi in cui laterali destri e sinistri coincidono o non coincidono; sottogruppi normali. Centro di un gruppo e sue proprietà.

Un sottogruppo è normale se e solo se è unione di classi coniugate. Il nucleo di un omomorfismo è un sottogruppo normale. x e y appartengono allo stesso laterale di N se e solo se xy^-1 appartiene ad N. Relazioni compatibili: corrispondenza tra relazioni compatibili e sottogruppi normali. Se un sottogruppo e' normale allora l'insieme dei suoi laterali sinistri forma un gruppo (detto gruppo quoziente), e la proiezione su tale quoziente e' un omomorfismo. Esempi di gruppi quoziente.
Teorema fondamentale di omomorfismo; esempi e applicazioni. Prodotti diretti e semidiretti di gruppi; esempi. Gruppo dei movimenti rigidi della retta che fissano gli interi. Dato un gruppo G ed un sottogruppo normale N, descrizione dei sottogruppi di G che contengono N. Esercizio: dato un gruppo G e due sottogruppi normali contenuti l'uno nell'altro, descrizione dei quozienti.

Azioni di un gruppo su un insieme. Esempi: azioni del gruppo simmetrico S_n sui polinomi in n variabili e su K^n; azioni del gruppo diedrale D_n sui vertici dell'n-gono regolare e sulle diagonali; azioni per moltiplicazione sinistra di un gruppo G su sé stesso e sull'insieme dei laterali sinistri di un proprio sottogruppo; azioni per coniugio di un gruppo G su é stesso e sull'insieme dei propri sottogruppi. Orbite e stabilizzatori: definizione, proprietà, esempi. Centralizzatore di un elemento e normalizzatore di un sottogruppo.
Biezione tra gli elementi di un'orbita e i laterali dello stabilizzatore; formula delle orbite e formula delle classi; esempi.

Se un gruppo ha ordine p^n allora il suo centro non è banale. Se un gruppo ha ordine p^2 allora è commutativo. Sottogruppi di Sylow, esempi: le matrici triangolari unipotenti su Z/p. Teorema di Cauchy. Teoremi di Sylow: i p-sottogruppi di Sylow esistono, sono tra loro coniugati, ed il loro numero soddisfa condizioni di divisibilità e congruenza. Se c'è un unico p-sottogruppo di Sylow allora è normale. Esempi e applicazioni. Cenni ai gruppi dei poliedri regolari. Cenni ai gruppi delle tassellazioni.

Testi/Bibliografia

Il testo consigliato è

G. M. Piacentini Cattaneo: ALGEBRA, un approccio algoritmico,

Zanichelli, 1996.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni in classe. Compiti per casa assegnati settimanalmente, corretti dai tutor e risolti alla lavagna dai docenti.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame ha lo scopo di verificare il raggiungimento dei seguenti obiettivi: conoscenza approfondita dei concetti di algebra presentati durante il corso; capacità di utilizzare gli strumenti forniti per risolvere un problema algebrico.

La prova d'esame è costituita da un prova scritta e da una prova orale. Per partecipare a ciascuna prova è necessaria l'iscrizione al relativo appello sul sito AlmaEsami. Si ricorda che durante fli esami è necessario esibire il badge universitario o altro documento di riconoscimento.

La prova scritta prevede la risoluzione di esercizi e di problemi e mira a valutare la capacità dello studente di saper applicare gli strumenti teorici forniti. Durante la prova scritta non è ammesso l'uso di libri o appunti né di calcolatrici o cellulari, e non è consentito comunicare con altre persone verbalmente o tramite messaggi di qualunque tipo.

La valutazione dello scritto è in trentesimi e prevede una votazione minima di 15/30 per essere ammessi alla prova orale. I risultati vengono inseriti sul sito AlmaEsami.

La prova orale verte a verificare la conoscenza teorica della materia, la proprietà di linguaggio e la capacità di sostenere una discussione sugli argomenti del corso. La valutazione finale terrà conto delle due prove nel loro complesso e la relativa verbalizzazione viene effettuata al termine della prova orale.

Sono previsti cinque appelli nell'arco dell'anno accademico: due nella sessione invernale Gennaio-Febbraio, due nella sessione estiva Giugno-Luglio e una nella sessione autunnale di Settembre. Le loro date esatte saranno disponibili sul sito AlmaEsami con ampio anticipo.

Strumenti a supporto della didattica

Lezioni, esercizi per casa, ore di ricevimento

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Luca Moci

Consulta il sito web di Enrico Fatighenti