00537 - ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente acquisisce: - familiarità con alcuni importanti modelli della Fisica nell'ambito della Meccanica Newtoniana classica (formalismo dei sistemi dinamici) della Meccanica Analitica e della Meccanica dei mezzi continui; - tecniche e strumenti matematici in grado di affrontare il problema dell'integrabilità dei sistemi studiati.

Contenuti

Elementi di calcolo e di analisi tensoriale; fondamenti geometrici e cinematici della meccanica Newtoniana e Lagrangiana. Aspetti cinematici dei sistemi discreti e continui: caratterizzazione dei moti rigidi. Il formalismo dei sistemi dinamici in Meccanica Newtoniana. Sistemi conservativi a un grado di libertà e riconducibili. Analisi qualitativa dei moti, al variare delle condizioni iniziali: teorema del periodo e ritratti di fase. Stabilità dell'equilibrio: i due criteri di stabilità di Ljapunov. Oscillazioni smorzate e forzate e sistemi dinamici lineari. Le principali variabili dinamiche e i Teoremi generali di conservazione per sistemi a più gradi di libertà (liberi e/o vincolati). Analisi qualitativa dei moti di un punto materiale, soggetto ad una forza centrale: teoremi di riduzione e stabilità delle orbite circolari. Orbite in un campo centrale. Il Teorema di Bertrand. il problema di Keplero e quello perturbato: fenomeni di precessione. L'integrabilità del Problema dei due corpi. Cinematica e dinamica del corpo rigido: angoli di Eulero, le equazioni di Eulero e i moti alla Poinsot. Passaggio dalla Meccanica Newtoniana alla Meccanica Analitica: sistemi olonomi e coordinate lagrangiane. Il Principio delle reazioni vincolari: il Principio dei lavori virtuali in statica e il Principio di d'Alembert in dinamica. Le equazioni di Lagrange. Il formalismo variazionale in Meccanica Analitica: il Principio di Hamilton in descrizione Lagrangiana: le equazioni di Eulero-Lagrange. Equilibrio, stabilità e piccole oscillazioni di un sistema olonomo. Il sistema degli l-oscillatori: il Teorema dei modi normali, moti periodici e quasi periodici. Le variabili azione e angolo. Il formalismo Hamiltoniano in Meccanica Analitica:  trasformazioni di Legendre, funzione di Hamilton e il sistema dinamico hamiltoniano/canonico. Il teorema di Liouville. Formalismo canonico: struttura simplettica dello spazio delle fasi hamiltoniano. Il Principio di Hamilton in descrizione Hamiltoniana. Il Principio di Maupertuis-Lagrange. Trasformazioni canoniche e funzioni generatrici. Integrali primi del moto e parentesi di Poisson: il Teorema di Jacobi. La trottola di Lagrange. Equazione di Hamilton-Jacobi e la sua separabilità: il Teorema di Jacobi. Esempi di sistemi integrabili.

Testi/Bibliografia

Fasano-Marmi: Meccanica Analitica, Boringhieri
T. Ruggeri: Introduzione alla Termomeccanica dei continui, Monduzzi 2007
Appunti distribuiti a lezione

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula, in cui vengono presentati gli elementi fondamentali della Meccanica classica e analitica, con elementi di Meccanica dei Continui. Alla presentazione teorica di ogni argomento vengono associate diverse lezioni dedicate a esercizi, nei diversi formalismi, con lo scopo di farne acquisire il metodo di risoluzione.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta finale di tre ore, durante la quale è ammesso l'uso di materiale didattico, e una successiva prova orale su alcuni argomenti legati alle principali tematiche del corso. La prova scritta ha lo scopo di accertare le abilita' acquisite nel risolvere problemi nell'ambito dei diversi formalismi presentati. Essa viene valutata attraverso un giudizio, che deve risultare positivo per consentire l'accesso alla prova orale. All'inizio del corso, il docente valutera' l'opportunita' di sostituire la prova scritta unica con due prove scritte parziali, di tre ore ciascuna, in corso d'anno, sui principali formalismi della Meccanica Newtoniana e della Meccanica Analitica rispettivamente.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Franca Franchi