27213 - ANALISI MATEMATICA 2

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2019/2020

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo studente acquisisce conoscenze matematiche di carattere più informativo, utilizzando un'ampia strumentazione di base per affrontare la descrizione di fenomeni fisici diversi. In particolare, al termine del corso, lo studente è in grado di: risolvere problemi di massimo o minimo vincolati; calcolare semplici integrali di funzioni in piu' variabili; calcolare semplici integrali di funzioni definite su superfici. In particolare, al termine del corso, lo studente è in grado di: - risolvere problemi di massimo o minimo vincolati; - studiare la convergenza di integrali in piu' variabili; - calcolare integrali superficiali.

Programma/Contenuti

Spazi metrici, spazi normati, spazi con prodotto interno. Spazi metrici completi. Spazi di Banach e spazi di Hilbert. Il Teorema di Banach-Caccioppoli. Convergenza uniforme e totale. Equazioni differenziali: esistenza ed unicità del problema di Cauchy (Teorema di Peano-Picard). Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: limiti, derivate direzionali, derivate parziali, differenziale di una funzione, regola della catena, gradiente di una funzione, formula di Taylor. Ricerca di massimi e minimi liberi: condizioni necessarie e condizioni sufficienti. Calcolo infinitesimale per le curve: curve regolari e integrali di linea. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili a valori vettoriali: limiti continuità e differenziabilità di una funzione, differenziale di una funzione, matrice Jacobiana, matrice Hessiana, formula di Taylor. Teorema delle funzioni implicite (Dini). Il Teorema della funzione inversa. Varietà k-dimensionali, estremi locali e vincolati, integrali curvilinei, calcolo integrale in più variabili. Spazio tangente e spazio normale ad una varietà. Il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange, ricerca di minimi e massimi vincolati. Calcolo integrale: integrale multiplo, insiemi semplici, regolari e misurabili. Teorema di Fubini, Teorema di integrazione mediante cambiamento di variabile. Cenni alla teoria della misura, cenni all'integrazione astratta, integrale di Lebesgue, Teorema di Fubini e di Lebesgue, spazi L^p. Campi vettoriali e integrali di linea di seconda specie. Campi vettoriali e potenziali. Forme differenziali. Integrali di superficie.
I teoremi di Gauss-Green, Gauss e Stokes.

Testi/Bibliografia

Saranno disponibili su IOL campus le lezioni svolte dal docente

Testi di riferimento per il corso:

C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2 (Zanichelli);

W. Rudin: Analisi Reale e Complessa (Boringhieri);

E. Giusti: Analisi Matematica 2 (Boringhieri).

S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Matematica volume 2 (Zanichelli);

T. Tao: An introduction to measure theory, GSM 126, AMS;

Marcellini Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Secondo volume (Liguori Editore);

M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Progetto Leonardo - Esculapio (2012).

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula. Materiale complementare al corso sarà disponibile su Insegnamenti On Line

Modalità di verifica dell'apprendimento

Appello d'esame. Per poter accedere all'esame, in ogni sua fase, è sempre obbligatorio iscriversi alle liste degli appelli pubblicate su AlmaEsami [https://almaesami.unibo.it/almaesami/welcome.htm]

La prova d'esame finale consiste in una prova scritta (suddivisa in due parti, A e B, tra loro propedeutiche) e una orale-scritta (suddivisa in due parti, C e D, tra loro propedeutiche). La prova prova scritta (A+B) ha una durata complessiva di 2 ore; ad essa si accede previa iscrizione alle liste aperte su AlmaEsami dal docente. Superano la prova A gli studenti che ottengono almeno 4 punti su 9. Per gli studenti che non superano la prova A non si procederà alla correzione della prova B. Tali studenti dovranno ripetere l'esame dall'inizio. Si considera superata la prova B se il candidato realizza almeno 6 punti su 10. Il non superamento della parte B determina la decadenza della validità del punteggio positivo della prova A. Gli studenti che studenti che non superano la prova B dovranno ripetere l'esame dall'inizio.

Gli studenti che superano entrambe le prove (A e B) sono ammessi alle successive fasi (orale-scritta) e possono iscriversi alle liste di AlmaEsami pubblicate dal docente denominate C e D. Le prove C e D ("orale-scritta") sono così organizzate: la prova C, della durata di 45 minuti e del valore complessivo di 5 punti, è somministrata dal docente su un testo scritto articolato su tre quesiti. Il candidato è tenuto a svolgerla per iscritto. Al termine della prova C, se la somma dei punteggi realizzati nelle prove A, B e C è maggiore o uguale a 15, il candidato sarà ammesso alla fase D che avrà luogo immediatamente dopo sotto forma di un breve colloquio (con la commissione) svolto (dal candidato) alla lavagna sui contenuti del corso. Potranno inoltre essere richiesti ulteriori chiarimenti sulle prove A,B, C svolte dal candidato.

Nel caso in cui la somma dei punteggi delle prove A, B e C sia inferiore a 15 lo studente non è ammesso alla fase D e decade il valore di tutte le precedenti prove A e B le quali dovranno essere quindi ripetute in altri appelli.

La valutazione della fase D varia da -6 punti a +6 punti.

Il candidato dovrà inoltre aver svolto tutti gli esercizi proposti dal docente durante la lezione. Questo lavoro casalingo è denominato LC. Tali esercizi dovranno essere raccolti in un quaderno, scritto a mano dal candidato (non saranno presi in considerazione testi scritti al computer o fotocopie), da consegnare alla commissione d'esame prima dello svolgimento della prova D. La commissione potrà formulare domande inerenti lo svolgimento degli esercizi assegnati.

Il voto finale dell'esame è dato dalla somma algebrica dei punteggi ottenuti nelle prove A, B, C, D a cui si aggiungono fino a 2 punti ulteriori, qualora la valutazione degli esercizi presentati dal candidato sul quaderno (lavoro casalingo LC) sia positiva.

Nel caso in cui il punteggio così ottenuto sia inferiore a 18, lo studente è respinto e deve ripetere l'esame dall'inizio essendo decaduta la validità di ciascuna delle prove A,B,C e D.

Le eventuali lodi sono attribuibili, a discrezione del docente, nei soli casi in cui, sommando i punteggi delle prove A, B, C, D e tenuto conto di LC, si ottenga un punteggio maggiore o uguale a 30.

La validità del punteggio delle prove A e B, se entrambe positive, è limitato alla sola sessione d'esami d'esami in cui sono state sostenute per cui non hanno validità per eventuali appelli appartenenti a sessioni d'esami poste al termine del ciclo successivo.

Esempio di prova A+B

Esempio di prova C

Prove in itinere: durante il corso è previsto lo svolgimento di due prove in itinere (I1 e I2) riservate ai soli studenti iscritti al secondo anno in corso. Tuttavia, il docente si riserva di dar corso allo svolgimento di queste prove in relazione alla possibilità di individuare le aule da destinare allo scopo durante lo svolgimento delle lezioni e al numero degli studenti che vogliono iscriversi.

Le date di tale prove saranno pubblicate su AlmaEsami.

Tali prove hanno lo scopo di incentivare l'apprendimento degli studenti durante le lezioni. La prima prova avrà luogo prima della fine del corso, non prima della settima settimana di corso. La successiva avrà luogo alla conclusione del corso o in concomitanza del primo appello.

La prima prova, a cui si accede previa iscrizione alla lista preposta di almaEsami, attribuirà al più 9 punti e sarà considerata superata qualora il candidato totalizzi almeno 4 punti dei 9 disponibili. Potranno iscriversi alla seconda prova pubblicata su AlmaEsami soltanto gli studenti che avranno superato la prima prova in itinere. La seconda prova in itinere attribuirà al più 10 punti e sarà considerata superata qualora il candidato realizzi almeno 6 punti dei 10 disponibili. Il non superamento della seconda prova in itinere determinerà la decadenza dell'eventuale punteggio positivo ottenuto nella prima prova in itinere. Gli studenti che supereranno le due prove in itinere potranno iscriversi alle fasi C e D secondo le stesse modalità già descritte in precedenza per il superamento degli appelli d'esame. Le modalità di calcolo del voto finale per coloro che superano le prove in itinere sono le stesse già descritte in precedenza considerando, in luogo dei punteggi delle prove A e B, rispettivamente i punteggi delle prove I1 e I2. La validità delle prove I1 e I2 è riservata alla sola sessione d'esami immediatamente successiva alla fine del corso. Nel caso in cui lo studente non dovesse superare o la prova C o D, decade la validità delle prove I1 e I2 e il candidato dovrà ripetere l'esame in altro appello svolgendo le prove A,B,C,D secondo le modalità già descritte in precedenza.

La durata di ciascuna delle prove in itinere è di 90 minuti. La struttura delle prove I1 e I2 è analoga, rispettivamente, a quella delle prove A e B. Tuttavia il docente si riserva di apportare qualche modifica sul numero di esercizi da svolgere.

Esempio di prima prova in itinere I1

Esempio di seconda prova in itinere I2

Modalità d'esame a distanza causate dalla pandemia del virus COVID-19 per la sessione estiva 2020.


L'esame verrà effettuato da remoto, usando le piattaforme EOL (Esami OnLine), Zoom Meetings, Teams.

E' necessario quindi disporre di un computer dotato di microfono e webcam ed una connessione internet che supporti una buona trasmissione audio/video.

All'esame si accede unicamente iscrivendosi alle liste presenti su AlmaEsami.

Durante la prova d'esame è possibile utilizzare penne, matite, carta su cui scrivere.
Non è possibile utilizzare calcolatrici (di qualsiasi genere), libri, appunti, altri supporti cartacei o elettronici

La prova d'esame è formata da una prova scritta (due questionari a risposta multipla: uno per la parte di teoria denominato prova A, uno per la parte di esercizi denominato prova B) e da una prova scritta e orale obbligatoria suddivisa in due parti denominate rispettivamente C e D.

Le prove A e B vengono proposte in sequenza il giorno della prova scritta (prima la parte A, poi la B). Per essere ammessi alla prova B occorre aver superato la prova A.

La prova A, della durata di 20 minuti, è formata da 9 quesiti a risposta multipla: per ogni domanda, del valore di 1 punto, una sola risposta è esatta; la risposta sbagliata o non data vale 0 punti. Per il superamento
della prova A, il punteggio minimo richiesto è 4 punti, su un massimo di 9. La valutazione, con il punteggio ottenuto, è immediata dopo la chiusura del questionario.

La prova B, della durata di 80 minuti, attribuisce al più 10 punti ed è formata da quesiti a risposta multipla: per ogni domanda, una sola risposta è esatta; la risposta sbagliata o non data vale 0 punti. Per il superamento
del secondo questionario, il punteggio minimo richiesto è 6 punti, su un massimo di 10. La valutazione, con il punteggio ottenuto, è immediata dopo la chiusura del questionario.
Durante questa fase la commissione potrà chiedere ai candidati di caricare copia del proprio elaborato sulla piattaforma IOL o EOL.
Il mancato superamento della prova B determina la decadenza della validità del punteggio ottenuto nella prova A.

Il candidato che supera entrambe le prove A e B viene ammesso a sostenere la prova C ed eventualmente la prova D. Entrambe le prove C e D si svolgeranno in data successiva a quelle dello scritto (A+B), previa iscrizione alle liste di AlmaEsami.

 La prova C, della durata di 30 minuti, attribuisce al più 5 punti ed è formata da quesiti a risposta multipla o a risposta aperta. Per ottenere l'ammissione alla prova D occorre che la somma dei punti ottenuti nelle prove A,B,C sia maggiore o uguale a 15. La valutazione, con il punteggio ottenuto nella prova C, è immediata dopo la chiusura del questionario.

Durante la fase C la commissione potrà chiedere ai candidati di caricare copia del proprio elaborato sulla piattaforma IOL o EOL.


Nel caso in cui la somma dei punteggi ottenuti nelle prove A, B, C sia inferiore a 15 si ha la decadenza della validità delle prove A,B,C e l'immediato respingimento.

I candidati ammessi alla prova D verranno valutati con l'attribuzione di un punteggio che varia da -6 punti a +6 punti ed avverrà al termine della prova C.

La prova D consiste in una prova orale.

Il candidato dovrà inoltre aver svolto tutti gli esercizi proposti dal docente durante le lezioni. Questo lavoro casalingo è denominato LC. Tali esercizi dovranno essere raccolti in un quaderno, scritto a mano dal candidato (non saranno presi in considerazione testi scritti al computer o fotocopie), da mettere a disposizione a distanza della commissione d'esame prima dello svolgimento della prova D. La commissione potrà formulare domande inerenti lo svolgimento degli esercizi assegnati.

Il voto finale dell'esame è dato dalla somma algebrica dei punteggi ottenuti nelle prove A, B, C, D a cui si aggiungono fino a 2 punti ulteriori, qualora la valutazione degli esercizi presentati dal candidato sul quaderno (lavoro casalingo LC) sia positiva.

Nel caso in cui il punteggio così ottenuto sia inferiore a 18, lo studente è respinto e deve ripetere l'esame dall'inizio essendo decaduta la validità di ciascuna delle prove A,B,C e D.

Le eventuali lodi sono attribuibili, a discrezione del docente, nei soli casi in cui, sommando i punteggi delle prove A, B, C, D e tenuto conto di LC, si ottenga un punteggio maggiore o uguale a 30.

La validità del punteggio delle prove A e B, se entrambe positive, è limitato alla sola sessione d'esami d'esami in cui sono state sostenute per cui non hanno validità per eventuali appelli appartenenti a sessioni d'esami poste al termine del ciclo successivo.


Si consiglia inoltre di leggere le seguenti istruzioni


https://www.unibo.it/it/servizi-e-opportunita/servizi-online/servizi-online-per-studenti-1/lezioni-ed-esami-online


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Strumenti a supporto della didattica

Materiale didattico eventualmente messo a disposizione dai docenti sulla piattaforma IOL Insegnamenti OnLine [https://iol.unibo.it/]

Eventuale tutoraggio (qualora assegnato)

 

Strumenti a supporto della didattica

Dispense del corso su IOL

Eventuale tutoraggio (qualora assegnato).

Link ad altre eventuali informazioni

https://www.unibo.it/sitoweb/fausto.ferrari

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Fausto Ferrari