55544 - CALCOLO DIFFERENZIALE

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2019/2020

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente conosce i concetti ed i risultati di base del calcolo differenziale in più variabili, sia nel caso di funzioni a valori scalari che vettoriali. In particolare, lo studente è in grado di: - calcolare e interpretare differenziali, derivate direzionali, parziali e gradienti - ricercare massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili (matrici Hessiane) - utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per l'ottimizzazione vincolata, avendo acquisito familiarità con i concetti di varietà differenziabile immersa, spazi tangenti e normali, Teorema delle funzioni implicite (matrici Jacobiane).

Programma/Contenuti

I) SPAZI METRICI E NORMATI

Spazi metrici e topologia. Funzioni continue.  Spazi metrici e successioni.  

II) R^n EUCLIDEO.

La metrica euclidea in R^n. Primi concetti topologici in R^n . Funzioni continue su domini in R^n euclideo. Successioni in Rn euclideo; successioni convergenti e successioni Cauchy. R^n euclideo come spazio normato.  Norme e metriche. R^n euclideo come spazio con prodotto interno. Interpretazione geometrica: prodotti interni ed angoli. Prodotti interni, norme e metriche.

III) FUNZIONI DIFFERENZIABILI A VALORI REALI SU DOMINI IN R^n 

Derivate direzionali e derivate parziali. Funzioni differenziabili. Interpretazione "geometrica" della differenziabilita'. Differenziabilita' e derivabilita' direzionale. Valutazioni del differenziale, vettore gradiente e prodotti interni. Derivabilita' direzionale e differenziabilita'. Differenziabilta' e continuita'. Il Teorema del Differenziale Totale. Operazioni "legittime" tra funzioni differenziabili in un punto. Come si "scrivono in modo intrinseco" i differenziali?  "Base canonica" dello spazio duale (R^n)^*. Derivate successive (o, miste). Derivazione di funzioni composte.

IV) OTTIMIZZAZIONE LIBERA: MASSIMI E MINIMI RELATIVI 

 Massimi e minimi relativi per funzioni in piu' variabili. Matrici Hessiane. Condizioni necessarie. Condizioni sufficienti.

 

V) OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA

Funzioni a valori vettoriali. Funzioni differenziabili a valori vettoriali. Curve in R^n. Vettori tangenti. Varieta' regolari in R^n. Matrici Jacobiane.

Varieta' regolari. Punti regolari . Curve, varieta' regolari, spazi tangenti e spazi normali. Punti critici vincolati.  Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange.

Testi/Bibliografia

Note del Docente su Files Pdf scaricabili dal sito

Metodi didattici

Durante le lezioni verranno discussi i concetti e metodi generali tipici del Calcolo differenziale in piu' variabili.

Durante le lezioni verranno proposti esercizi, alcuni dei quali svolti dal Docente, altri verranno lasciati come lavoro individuale.

Le esercitazioni hanno lo scopo di fornire la possibilitá a ciascun studente di misurarsi nella elaborazione di soluzioni autonome dei problemi concreti che verranno posti applicando le nozioni teoriche apprese durante le lezioni.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste di una prova finale orale della durata di 45 minuti. Si verifichera' la competenza dello studente sia a livello di acquisizione di metodi e concetti che di applicazione a casi concreti.

Lo Studente preparerà cinque dimostrazioni a propria scelta (fra quelle discusse durante lo svolgimento del corso). Una tra esse sarà oggetto di domanda di esame.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Andrea Brini