87295 - ANALISI MATEMATICA T-A

Conoscenze e abilità da conseguire

Aspetti metodologici e operativi di calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile reale.

Contenuti

LIMITI E CONTINUITÀ. Definizione di successione di numeri reali convergente e divergente. I teoremi sui limiti di successioni: unicità del limite, teoremi di confronto, dei due carabinieri. L'algebra dei limiti. Successioni monotone e loro limiti. Richiami sulle funzioni: composizione di funzioni, funzioni invertibili e funzioni inverse. Generalita' sulle funzioni reali di una variabile reale; funzioni monotone. Definizione di funzione continua di una variabile reale. I teoremi di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi. Definizione di limite per funzioni reali di una variabile reale; estensione dei risultati stabiliti per le successioni. Continuità della composizione di due funzioni continue e il teorema di cambiamento di variabile nei limiti. Il teorema sui limiti delle funzioni monotone.  

CALCOLO DIFFERENZIALE. Definizione di funzione derivabile e di derivata di una funzione. Il calcolo delle derivate. I teoremi del valor medio e loro applicazione allo studio della monotonia di una funzione. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor con resto nella forma di Peano e in quella di Lagrange. Estremanti locali: definizioni, condizioni necessarie, condizioni sufficienti. Funzioni convesse.

CALCOLO INTEGRALE. Definizione di integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale: linearità, additività, monotonia, teorema della media. Condizioni sufficienti di integrabilita'. I teoremi fondamentali del calcolo integrale. I teoremi di integrazione per sostituzione e di integrazione per parti. Funzioni continue a tratti e proprieta' dei loro integrali. Integrali generalizzati: definizioni, convergenza assoluta, criterio del confronto.

NUMERI COMPLESSI. Definizione e operazioni sui numeri complessi. Forma algebrica di un numero complesso, modulo e argomento di un numero complesso, forma esponenziale di un numero complesso. Formula di de Moivre, radici di un numero complesso, equazioni algebriche in C, la funzione esponenziale complessa.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee, il problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee, il problema di Cauchy. Estensione al caso di equazioni a coefficienti variabili e di ordine qualunque.

Testi/Bibliografia

G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht: Elementi di Analisi Matematica, vol. 1, Zanichelli (2009)
Un libro di esercizi sulle funzioni di una variabile reale, ad esempio: M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Progetto Leonardo - Esculapio (2011)

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula che illustrano i concetti fondamentali. Le lezioni sono sempre integrate con esempi e controesempi relativi ai concetti fondamentali illustrati. Inoltre vengono svolti numerosi esercizi in aula. Gli studenti sono fortemente invitati a venire a ricevimento per eventuali chiarimenti

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene mediante una prova scritta e una prova orale. Nella prova scritta, viene richiesta la risoluzione di esercizi sulle varie parti del corso. L'accesso alla successiva prova orale è consentito solamente a coloro che abbiano superato la prova scritta. La prova orale verte sulla verifica della comprensione dei concetti fondamentali e sulla conoscenza delle definizioni e degli enunciati dei principali risultati, su esempi e controesempi. 

Strumenti a supporto della didattica

Tutorato (qualora assegnato)

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Giovanna Citti