76300 - METODI MATEMATICI PER LA MECCANICA DEI CONTINUI

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente: - possiede nozioni approfondite di meccanica dei continui nei loro principali aspetti matematici; - è in grado di condurre autonomamente l'approfondimento verso gli sviluppi più recenti delle tematiche sopra citate e dei loro problemi più significativi.

Contenuti

Preliminari di calcolo tensoriale e di analisi tensoriale.

Introduzione alle equazioni alle derivate parziali: problema di Cauchy, curve e superfici caratteristiche, classificazione e propagazione delle singolarità.

Forma conservativa: soluzioni deboli e onde d'urto.

Sistemi quasi lineari del primo ordine iperbolici 1D e 3D.

Onde di discontinuità VS onde dispersive.

Il metodo delle travelling waves, con esempi.

Introduzione alla Meccanica dei Continui.

Localizzazioni, configurazioni, analisi delle deformazioni e le principali proprieta' cinematiche nei due diversi formalismi lagrangiano ed euleriano.

Leggi di bilancio, in formulazione integrale e locale, anche in presenza di una superficie di singolarità per il campo incognito, a valori scalari e vettoriali.

Derivazione dell'equazione salto di Rankine-Hugoniot.

I principi di conservazione della Meccanica dei Continui e la loro forma locale, divergenza e convettiva: il Teorema di Cauchy ed il Teorema dell'Energia cinetica.

Le diverse teorie costitutive, classiche e non, per fluidi e corpi elastici: il modello di Eulero dei fluidi perfetti barotropici, il modello di Navier-Stokes per i fluidi linearmente viscosii/dissipativi, il modello di Maxwell per i fluidi viscoelastici e il modello di Navier per i solidi elastici lineari e omogenei.

Analisi delle proprietà di stabilita', lineare e non, unicità e di propagazione ondosa.

I due Principi della Termodinamica, in forma integrale e locale.

L'equazione dell'energia calorica, la legge fenomenologica di Fourier e teorie costitutive alternative con ritardo di risposta.

La disuguaglianza dell'entropia, l'energia libera di Helmholtz e la disuguaglianza di Clausius-Duhem: le forme differenziali di Gibbs classiche e le restrizioni costitutive.

Compatibilita' termodinamica di un modello matematico.

Il modello termo-viscoso di Navier-Stokes-Fourier e il modello del gas perfetto politropico.

Conduzione del calore rigida, classica e con rilassamento termico: modelli matematici di diffusione del calore parabolici, lineari e non, e iperbolici a confronto.

Instabilita' convettive: l'approssimazione di Boussinesq e il problema classico di Bénard.

Modelli iperbolici non lineari in forma conservativa: soluzioni deboli e onde d'urto. Il modello di Eulero in regime adiabatico.

Modellamenti matematici non lineari, parabolici, anche con mobilità diffusive degeneri, e iperbolici, per il flusso del traffico, e in ambito bio-medico.

I modelli di diffusione e reazione dell'Hantavirus di Abramson e Kenkre e i modelli di aggregazione chemotattica di Keller-Segel e di Chavanis-Sire.

Modellamenti matematici per una nube di gas del mezzo interstellare, autogravitante.

Analogie fra la formazione del collasso chemotattico nei processi di aggregazione cellulare e l'instabilità gravitazionale di Jeans in ambito astrofisico.

Testi/Bibliografia

I- Shih Liu: Continuum mechanics, Springer 2002

T.Ruggeri: Introduzione alla termomeccanica dei continui Monduzzi editore 2007

B.Straughan: The energy method, stability and nonlinear convection, Springer New York 2004

B.Straughan:  Heat Waves Applied Mathematical Sciences 177 Springer New York 2011

J.L. Vazquez:  An introduction to the mathematical theory of the porous medium equation Oxford Univ.Press, 2007
Appunti distribuiti a lezione.

Metodi didattici

Il modulo, comune ai due indirizzi, è strutturato in lezioni frontali in cui vengono sviluppati gli aspetti teorici degli argomenti trattati, mettendo in risalto l'importanza della conoscenza delle equazioni alle derivate parziali non lineari per costruire dei modellamenti matematici, e presentando le tecniche analitiche per affrontarne lo studio allo scopo di descrivere le proprietà sperimentali di situazioni fisiche, astrofisiche e biologiche.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene mediante una prova orale nella quale la prima domanda riguarda l'approfondimento  di un argomento scelto dalla studente, con lo scopo di accertare la padronanza dei diversi formalismi previsti dal programma del corso. Il voto relativo all'esame del corso integrato verrà calcolato come media aritmetica delle valutazioni riportate nei singoli moduli.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Franca Franchi