37643 - ANALISI MATEMATICA T

Anno Accademico 2022/2023

  • Docente: Andrea Bonfiglioli
  • Crediti formativi: 9
  • SSD: MAT/05
  • Lingua di insegnamento: Italiano

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, una volta superata la prova di verifica finale, lo studente dovrebbe possedere le conoscenze di base relative all’analisi ed in particolare alle funzioni di una variabile reale: proprietà di tali funzioni, lettura ed interpretazione di grafici, derivate, integrali e loro significato, approssimazione delle stesse.

Contenuti

Programma/Contenuti

  • Premesse: N,Z,Q,R; minimo e massimo, estremi superiore e inferiore di un sottoinsieme di R. Funzioni, grafico, iniettività, suriettività, immagine, funzione inversa, funzione composta. Cenni alle funzioni elementari. Principio di induzione.
  • Limiti: Intorni, punti di accumulazione. Limiti finiti e infiniti di funzioni di variabile reale a valori reali, limite destro e sinistro. Proprietà del limite: unicità, località; proprietà algebriche del limite e teoremi del confronto. Limiti di funzioni monotone. Forme indeterminate: infiniti e infinitesimi. Simboli di Landau. Limiti notevoli.
  • Continuità: Funzioni continue di variabile reale a valori in R. Continuità della funzione composta. Permanenza del segno. Proprietà delle funzioni continue definite su intervalli: Teorema di Weierstrass, Teorema di Bolzano, Teorema degli Zeri.
  • Derivazione e applicazioni: Interpretazione geometrica della derivata e retta tangente; derivate di ordine superiore, derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, regola di Leibniz, derivata della funzione reciproca, derivata della funzione inversa, derivata della funzione composta. Proprietà delle funzioni derivabili su intervalli: Teorema di Rolle, Teorema di Lagrange, Teorema di Cauchy; funzioni a derivata nulla e funzioni costanti, primitiva, teorema su monotonia e segno della derivata. Teorema di de l'Hopital per forme indeterminate.
  • Funzioni convesse: definizione e interpretazione geometrica, teorema su convessità e monotonia della derivata prima, teorema su convessità e segno della derivata seconda. Approssimazione delle funzioni regolari con la formula di Taylor. Polinomio di Taylor; formula di Taylor con il resto di Peano, proprietà delle derivate del polinomio di Taylor; formula di Taylor delle funzioni elementari, applicazione ai limiti di forme indeterminate.
  • Analisi qualitativa delle funzioni: cenno ai punti angolosi/cuspidi, punti estremanti locali, punti stazionari e Teorema di Fermat, condizioni sufficienti (mediante le derivate) perché un punto sia estremante locale, punti di flesso (cenni).
  • Integrazione e applicazioni: Definizione di integrale di Riemann per funzioni limitate definite su intervalli limitati e chiusi. Proprietà dell'integrale: linearità, monotonia, additività. Classi di funzioni integrabili secondo Riemann su intervalli limitati e chiusi (funzioni continue tranne un numero finito di punti; funzioni monotone). La funzione di Dirichlet. Primo Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (di Torricelli). Teorema della media integrale. Funzione integrale e funzione primitiva. Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (funzione integrale). Teorema di integrazione per parti e teorema di integrazione per sostituzione (e/o del cambiamento di variabile). Integrazione delle funzioni razionali.
  • Integrale di Riemann generalizzato: Definizioni; Criterio del confronto per la convergenza dell'integrale generalizzato di una funzione positiva.
  • Numeri complessi: Il campo dei numeri complessi, forma algebrica, modulo e argomento, forma trigonometrica, radici n-esime, equazioni algebriche in campo complesso.
  • Serie numeriche: Definizioni; condizione necessaria per la convergenza; serie a termini non negativi: Teorema del confronto e del confronto asintotico; criterio del rapporto e della radice. Serie a termini di segno alternante: Teorema di Leibniz.

Testi/Bibliografia

Testi/Bibliografia

Libro di testo adottato per la Teoria:
G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht: Elementi di Analisi Matematica, Volume 1, Zanichelli Editore (Bologna), 2009

Per le esercitazioni:
si vedano i fogli di esercizi pubblicati su "VIRTUALE" (Virtual Learning Environment)

https://virtuale.unibo.it/

Se lo studente risolve con cura gli esercizi presentati dal docente sui fogli pubblicati, non avrà bisogno di ulteriori testi.

Per la teoria: è sufficiente che lo studente segua regolarmente TUTTE le lezioni frontali in aula e che studi la teoria sugli appunti presi a lezione. Un foglio di esercizi fornirà allo studente l'elenco COMPLETO delle domande teoriche per l'esame orale. Il libro di testo adottato è uno strumento facoltativo.

Si consiglia vivamente agli studenti non frequentanti di procurarsi gli appunti di lezione presi da qualche studente regolarmente frequentante. Questo permetterà allo studente non frequentante di risparmiare tempo e fatica nel preparare gli esami scritto e orale. Ovviamente, è comunque un diritto dello studente non frequentante di preparare l'esame anche mediante l'uso dei testi consigliati.


(eventuale libro di testo integrativo per gli esercizi:
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi Matematica 1, Zanichelli Editore (Bologna), 2011

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni in aula (e, se previsti dalle norme di Ateneo, anche attraverso didattica mista e/o a distanza).

Uso del materiale esercitativo caricato sul sito VIRTUALE di UniBo.

Dopo l'esperienza imposta dalla pandemia di Covid19 nell'A.A. 2020/21, il docente attiverà una chat di Telegram (che verrà resa disponibile agli studenti già dal primo giorno) per poter dialogare in modo costante, costruttivo e utile con la classe e caricare materiale didattico utile.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale.

Esame scritto:
Durata: 2 ore

Esame orale:
Da sostenere OBBLIGATORIAMENTE nella stessa sessione in cui si è sostenuto lo scritto (eventualmente in un appello diverso da quello dello scritto).
Verranno assegnate alcune domande (solitamente personalizzate per ciascuno studente) di Teoria, a cui lo studente risponderà per iscritto al momento dell'orale; tali domande verranno immediatamente corrette e verranno fatte una o più domande ulteriori allo studente.

Note: Lo studente con voto insufficiente allo scritto NON può sostenere l'orale (i punteggi per la sufficienza saranno segnalati nel testo dello scritto).
L'insufficienza ad uno scritto (totale) NON pregiudica la partecipazione agli scritti successivi. È prevista un'ammissione all'orale "con riserva" (i punteggi per l'ammissione con riserva saranno segnalati nel testo dello scritto).
Si può sostenere l'esame orale SOLO all'interno della stessa sessione dello scritto, anche in un appello differente da quello in cui si è superato lo scritto.

NOTA BENE: Chi risulta insufficiente all'orale DEVE RIFARE ANCHE LO SCRITTO.

Voto finale: Il voto finale tiene conto sia dello scritto sia dell'orale.

Numero di esami: Tre appelli nella sessione invernale (gennaio-febbraio). Tre appelli nella sessione estiva (uno a giugno; uno a luglio; uno a settembre).

Iscrizione agli esami: Lo studente dovrà iscriversi sia all'esame scritto sia all'esame orale attraverso il sito di Alma Esami.
Chi non si iscrive alle prove scritte/orali NON può sostenere l'esame.
Attenzione: l'iscrizione chiude normalmente svariati giorni prima della prova! Iscriversi per tempo!!

Strumenti a supporto della didattica

Durante lo svolgimento del corso saranno disponibili fogli pdf di esercizi caricati sul sito di UniBo "VIRTUALE"

https://virtuale.unibo.it/

Questi fogli sono molto importanti per la preparazione all'esame scritto (e sono stati generalmente considerati dai precedenti studenti come esaustivi per la preparazione dell'esame scritto).

Sempre al fine del supporto alla didattica, dopo l'esperienza imposta dalla pandemia di Covid19 nell'A.A. 2020/21, il docente attiverà una chat di Telegram (che verrà resa disponibile agli studenti già dal primo giorno) per poter dialogare in modo costante, costruttivo e utile con la classe e caricare materiale didattico.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Andrea Bonfiglioli

Consulta il sito web di Eugenio Vecchi