58048 - MATEMATICA CON ESERCITAZIONI

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente possiede le conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile reale, del calcolo vettoriale e dell'algebra lineare, dei primi elementi del calcolo per funzioni di più variabili, dei numeri complessi, conosce i metodi più elementari per la soluzione di equazioni differenziali e ha competenze e abilità pratiche sui metodi numerici per la risoluzione con il calcolatore di alcune classi di problemi della matematica. In particolare, lo studente è in grado di rappresentare dati o funzioni in forma grafica, eseguire applicazioni del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili reali, eseguire operazioni con vettori e matrici e sa utilizzare i concetti alla base del calcolo numerico, quali analisi dell'errore, approssimazione di dati sperimentali, interpolazione, integrazione numerica, equazioni non lineari e sistemi di equazioni lineari.

Contenuti

Limiti e continuità, i principali teoremi.
Derivate, principali teoremi ed applicazioni: tangenti a curve, crescenza e decrescenza di funzioni, convessità, studio di grafici di funzioni, formula di Taylor.
Integrali per funzioni di una variabile, primitive, integrazione di funzioni razionali, integrazione per sostituzione e per parti.
Equazioni differenziali ordinarie, metodi risolutivi per equazioni differenziali lineari di primo ordine, a variabili separabili, lineari di ordine superiore con coefficienti costanti.
Primi elementi di calcolo differenziale per funzioni di più variabili, derivate parziali, gradiente e matrice hessiana, punti di massimo e di minimo, determinazione del mimino e massimo assoluto di una funzione di due variabili in un dominio chiuso e limitato.
Integrali doppi: significato geometrico, formula di riduzione; cambiamento di variabili, con particolare riguardo alle coordinate polari.

Numeri complessi. Forma cartesiana e forma polare. Radici ennesime di un numero complesso. Binomio di Newton.
Polinomi. Somma e prodotto di polinomi. Divisione euclidea. Radici di polinomi e fattorizzazione. Teorema di Ruffini.
Sistemi lineari e matrici. Sistemi di equazioni lineari ed insieme delle soluzioni. Algoritmo di Gauss (metodo di eliminazione di Gauss). Matrice di un sistema lineare e riduzione alla forma a scalini ridotta.
Applicazione dell'algoritmo di Gauss per l'inversione di matrici.
Spazi vettoriali: operazioni di somma di vettori e moltiplicazione per scalare. Combinazioni lineari. Sottospazi vettoriali. Esempi (polinomi, matrici, successioni). Intersezione, somma e somma diretta di sottospazi. Sottospazio vettoriale generato da una famiglia di vettori. Famiglie libere, famiglie generatrici. Basi e dimensione. Coordinate in una base fissata.
Applicazioni lineari. Definizione di applicazione lineare. Immagine e nucleo (o Ker) di un'applicazione lineare. Teorema del rango. Iniettività e suriettività. Matrice di un'applicazione lineare da una base di partenza ad una base di arrivo. Autovalori e autovettori di un'applicazione lineare. Definizione di matrice diagonalizzabile. Riduzione degli endomorfismi (ricerca degli autovalori ed autovettori). Calcolo di determinanti.

Testi/Bibliografia

M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: 2a ed., Zanichelli, Bologna, 2004. [http://www.zanichelli.it/ricerca/prodotti/matematica-calcolo-infinitesimale-e-algebra-lineare]

M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: 1 Zanichelli, Bologna, 2014. [http://www.zanichelli.it/ricerca/prodotti/analisi-matematica-1-bramanti-pagani-salsa]

M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: 2, Zanichelli, Bologna, 2009. [http://www.zanichelli.it/ricerca/prodotti/analisi-matematica-2]

S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi matematica 1, 2 (due volumi), Zanichelli, Bologna, 2011.

P. Negrini: Equazioni differenziali. Pitagora editrice, Bologna, 1999.

Rita Fioresi, Marta Morigi "Introduzione all'algebra lineare". Zanichelli

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni guidate con tutore.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta finale di 3 ore (durante la quale è ammesso l'uso di libri, appunti, calcolatrici) e una successiva prova orale; l'esame avviene in unica soluzione per entrambi i moduli che compongono il corso.
La prova scritta mira ad accertare le abilità acquisite attraverso la risoluzione di esercizi sugli argomenti affrontati. Essa consiste nello svolgimento di 5 esercizi , ciascuno corrispondente a 6 punti. Per essere ammessi alla prova orale occorre ottenere un punteggio minimo di 15 punti. La validità della prova scritta superata è limitata agli appelli di una stessa sessione d'esame. La prova orale mira a verificare l'acquisizione delle conoscenze previste dal programma del corso e si discutono anche esercizi. Il voto finale, espresso in trentesimi, tiene conto delle valutazioni riportate in entrambe le prove.

Strumenti a supporto della didattica

Alma Mathematica [https://almaorienta.unibo.it/AlmaMathematica] : corsi di e-learning con lo scopo primario di facilitare la preparazione matematica nel periodo di transizione tra la scuola secondaria e gli studi universitari.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Paolo Negrini

Consulta il sito web di Luca Marchese