76300 - METODI MATEMATICI PER LA MECCANICA DEI CONTINUI

Conoscenze e abilità da conseguire

Il corso è focalizzato sui principali aspetti matematici della Meccanica dei Continui, con molte applicazioni a situazioni del mondo reale, in ambito biomedico, fisico e astrofisico. Durante il corso gli studenti si rendono conto dell'importanza strategica delle EDP per la costruzione di modelli matematici, e imparano diverse tecniche analitiche per affrontarne qualitativamente lo studio. Al termine gli studenti sanno adoperare queste nozioni in modo autonomo, e riescono a comprendere anche i più recenti sviluppi di questi settori in cui la ricerca è attiva.

Contenuti

Introduzione ai modelli compartimentali ad una o a più specie interagenti del tipo SI o del tipo SIR/SIV, formulati nell'ambito della meccanica dei continui, per la descrizione di fenomeni naturali, come per esempio la dinamica degli ecosistemi, la diffusione di epidemie da virus e da batteri.

Il ruolo della diffusione spaziale: dai Sistemi Dinamici ai Modelli di Diffusione e Reazione del tipo flusso-gradiente.

Soluzioni di equilibrio e analisi della stabilità/instabilità lineare.

L'effetto di termini di diffusione incrociata, del tipo chemiotattico nella legge costitutiva di Fick, e di reazioni logistiche (Verhulst) verso le instabilità di Turing.

Esempi: dal modello preda-predatore di Lotka-Volterra, anche diffusivo, ai modelli matematici in epidemiologia che generalizzano il modello SIR di Kermack-McKendrick verso il modello chemiotattico di Bellomo-Tao per le infezioni da virus.

 

Introduzione alle equazioni alle derivate parziali del primo e del secondo ordine in due variabili indipendenti reali verso modelli evolutivi 1D e stazionari 2D: problema di Cauchy, il ruolo delle curve/superfici caratteristiche, classificazione e propagazione delle singolarità del tipo salto, del primo e del secondo ordine.

Generalizzazione a modelli evolutivi/stazionari 3D.

Esempi classici e non del secondo ordine in versione 3D: descrizione di alcune tecniche analitiche per lo studio delle proprietà matematiche dei modelli.

L'argomento del tipo Energia in L^2 verso unicità e stabilità non lineare.

PDEs del primo ordine in forma conservativa verso l'equazione salto di Rankine-Hugoniot in forma 1D e 3D: onde d'urto come esempi di soluzioni deboli.

Il modello di Burgers a confronto con il modello del traffico di Whitham verso gli urti 3D di Eulero in fluidodinamica ideale.

Sistemi quasi lineari del primo ordine iperbolici 1D e 3D, con applicazioni varie.

Onde di discontinuità VS onde dispersive, con applicazioni alle scienze sociali e alla vita reale.

Il metodo delle travelling waves, con esempi di modelli.

 

Introduzione alla Meccanica dei Continui.

Breve rivisitazione di calcolo tensoriale e di analisi tensoriale.

Localizzazioni, configurazioni, analisi delle deformazioni e le principali proprieta' cinematiche nei due diversi formalismi lagrangiano ed euleriano; il Teorema del Trasporto di Reynolds nelle sue varie forme.

Leggi di bilancio, in formulazione integrale e locale, anche in presenza di una superficie di singolarità per il campo incognito, a valori scalari e vettoriali.

Il ruolo delle equazioni costitutive per i vettori/tensori flusso.

Derivazione dell'equazione salto di Rankine-Hugoniot.

I principi di conservazione della Meccanica dei Continui e la loro forma locale, divergenza e convettiva: il Teorema di Cauchy ed il Teorema dell'Energia cinetica.

Le diverse teorie costitutive, classiche e non, per fluidi e corpi elastici: il modello di Eulero dei fluidi perfetti barotropici, il modello di Navier-Stokes per i fluidi linearmente viscosii/dissipativi, il modello di Maxwell per i fluidi viscoelastici e il modello di Navier per i solidi elastici lineari e omogenei.

Analisi delle proprietà di stabilita', lineare e non, unicità e di propagazione ondosa.

I due Principi della Termodinamica, in forma integrale e locale.

L'equazione dell'energia calorica, la legge fenomenologica di Fourier e teorie costitutive alternative con ritardo di risposta.

La disuguaglianza dell'entropia, l'energia libera di Helmholtz e la disuguaglianza di Clausius-Duhem: le forme differenziali di Gibbs classiche e le restrizioni costitutive.

Compatibilita' termodinamica di un modello matematico.

Il modello termo-viscoso di Navier-Stokes-Fourier e il modello del gas perfetto politropico, in regime adiabatico.

Conduzione del calore rigida, classica e con rilassamento termico: modelli matematici di diffusione del calore parabolici, lineari e non, e iperbolici a confronto.

 

Motivazione e costruzione, in termini delle equazioni di bilancio e delle relazioni costitutive, dei modellamenti matematici quasi lineari, parabolici, anche con mobilità diffusive degeneri, o con la correzione iperbolica alla Cattaneo, introducendo un tempo di ritardo, in dinamica delle popolazioni, per il flusso del traffico o, a più specie interagenti, in ambito bio-medico per la diffusione di virus e di batteri.

In particolare i modelli di diffusione e reazione dell'Hantavirus di Abramson e Kenkre e i modelli di aggregazione chemotattica di Keller-Segel VS quello idrodinamico di Chavanis-Sire.

Proprietà di propagazione ondosa di modelli di diffusione e reazione di tipo iperbolico per la chemiotassi, alternativi a quelli precedenti di Dolak e Hillen.

Analisi della stabilità lineare VS l'insorgenza del collasso chemotattico.

Modelli matematici a 3 o più specie per analizzare qualitativamente gli effetti delle sigarette elettroniche sul problema della cessazione del fumo.

Modelli matematici continui a confronto per l'insorgenza e la diffusione dell'Alzheimer.

Modellamenti matematici per una nube di gas del mezzo interstellare, autogravitante in un universo in espansione: onde gravito-soniche VS la formazione del collasso gravitazionale.

Analogie fra la formazione del collasso chemotattico nei processi di aggregazione cellulare e l'instabilità gravitazionale di Jeans in ambito astrofisico, nei processi di formazione delle stelle e delle galassie.

Testi/Bibliografia

F.John: Partial Differential Equations, Springer, 1991.

M.Renardy, R.C.Rogers: Introduction to PDEs, Springer, 2006.

I- Shih Liu: Continuum mechanics, Springer 2002

T.Ruggeri: Introduzione alla termomeccanica dei continui, Monduzzi editore, 2007.

B.Straughan: The energy method, stability and nonlinear convection, Springer New York, 2004.

B.Straughan: Heat Waves Applied Mathematical Sciences, 177, Springer, New York, 2011.

J.D.Murray: Mathematical Biology. I: An Introduction, vol.17 of Interdisciplinary Appl. Math. Springer, New York, 2003a.

J.D.Murray: Mathematical Biology. II: Spatial Models and biomedical applications, vol.17 of Interdisciplinary Appl. Math. Springer, New York, 2003b.

Appunti e articoli di ricerca pubblicati su Virtuale

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in cui vengono sviluppati gli aspetti teorici degli argomenti trattati, mettendo in risalto l'importanza della conoscenza delle equazioni alle derivate parziali non lineari per costruire dei modellamenti matematici, e presentando le tecniche analitiche per affrontarne lo studio allo scopo di descrivere le proprietà sperimentali di situazioni fisiche, astrofisiche e biomediche.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene mediante una prova orale nella quale la prima domanda riguarda l'approfondimento di un argomento/modello matematico, legato alle tematiche del corso, scelto dalla studente, con lo scopo di accertare la padronanza acquisita dei diversi formalismi presentati nell'ambito del corso stesso.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Franca Franchi