67432 - COMPLEMENTI DI GEOMETRIA T

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo studente acquisisce l'impostazione vettoriale della geometria proiettiva, in particolare per quanto riguarda le coordinate omogenee e il rapporto fra la teoria delle forme bilineari e quadratiche e la teoria delle coniche e delle quadriche. Acquisisce inoltre una conoscenza di base della Geometria Differenziale di curve e superfici: contatto, tangenza, osculazione; curve e superfici particolari; circonferenza osculatrice; flessione e torsione; triedro principale; cono tangente; tangenti asintotiche. Sul piano esercitativo impara a classificare coniche e quadriche e ad utilizzarne la polarità, a scrivere equazioni parametriche e cartesiane di luoghi geometrici, a classificare punti di superfici, a rilevare punti impropri di curve, a determinare inviluppi.

Contenuti

Teoria

Geometria proiettiva

Motivazioni. Spazi proiettivi. Esempi. Dipendenza e sottospazi. Riferimenti. Proiettività. Prospettività. Dualità. Collegamento affine-proiettivo. Punti impropri. Iperquadriche. Polarità. Iperquadriche nell'affine e nell'euclideo. Fasci di coniche.

Complementi di algebra

Molteplicità di radici. Risultante. Discriminante.

Geometria differenziale

Curve piane: intersezione, forme parametriche, tangente e normale; curve piane notevoli.

Superfici e curve dello spazio: intersezione, forme parametriche, tangenza; curve e superfici notevoli.

Contatto fra curve piane: punti singolari, flessi; cerchio osculatore; curvatura; punti multipli; asintoti.

Contatto fra curve dello spazio: punti singolari, flessi; triedro principale; cerchio osculatore; flessione e torsione; formule di Frenet.

Superfici: punti singolari; tangenti asintotiche; classificazione dei punti semplici ordinari; punti multipli; tangenti principali.

Esercitazioni

Determinazione di sottospazi proiettivi e di proiettività. Ricerca di punti impropri. Calcolo di polo, polare, vertice, centro, iperpiani principali.
Calcolo di risultanti e discriminanti.
Costruzione di curve piane come luoghi geometrici. Costruzione di coni, cilindri, superfici di rotazione, sfere. Determinazione di: punti singolari, tangenti, asintoti; curvatura e cerchi osculatori di curve piane. Determinazione di: triedri principali, flessione e torsione di curve dello spazio. Determinazione di: punti singolari, piani e coni tangenti, tangenti asintotiche.

Testi/Bibliografia

Testo utilizzato
Dispense distribuite dal docente.

Testi di riferimento

• M. Barnabei, F. Bonetti, Sistemi lineari e matrici, Ed. Pitagora, 1992 (per un ripasso di algebra lineare).
• M. Barnabei, F. Bonetti, Spazi vettoriali e trasformazioni lineari, Ed. Pitagora, 1993 (per un ripasso di algebra lineare).
• C. Gagliardi, L. Grasselli, Algebra lineare e geometria, vol. 1-3, coll. Leonardo, ed. Esculapio, 1993 (in particolare: vol. 1 per un ripasso di algebra lineare, vol. 3 per gli spazi proiettivi).
• M.R. Casali, C. Gagliardi, L.Grasselli, Geometria, Progetto Leonardo, Bologna, 2002 (manuale più snello).
• R. Caddeo, A. Gray, Curve e superfici, CLUEC, 2002, vol. 1-2 (trattato esauriente di geometria differenziale).
• M. Villa, Lezioni di Geometria per gli studenti dei Corsi di Laurea in Fisica ed Ingegneria, CEDAM, 1972 (vecchio libro di pratica consultazione per la geometria di curve e superfici).

Per gli esercizi, può andare bene qualunque libro, purché, ovviamente, copra la materia in questione. Non è facile trovare eserciziari moderni che trattino la parte differenziale. Anche qui un vecchio libro può servire allo scopo:

• M. Villa, Esercizi di geometria : per gli studenti dei Corsi di Laurea in Fisica ed Ingegneria , Patron, 1970.

Metodi didattici

Lezione tradizionale.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Prova scritta (esercizi) di tre ore e prova orale.

Strumenti a supporto della didattica

Si possono scaricare le prove scritte risolte degli Anni Accademici 2008-2009  e 2009-2010.
Le lezioni vengono registrate e caricate online.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~ferri/hm/progcomp.htm

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Massimo Ferri

Consulta il sito web di Patrizio Frosini