28368 - ALGEBRA 2

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente ha le conoscenze di base dell'algebra avanzata, individuandola come scienza centrale utile e creativa. Conosce le strutture fondamentali: i gruppi gli anelli e i campi. Sa applicare tali conoscenze alle altre discipline matematiche. Sa contribuire alla formalizzazione matematica dei problemi posti dalle scienze applicate, e dei problemi pratici. Possiede capacità di analisi e di sintesi.

Contenuti

Richiami di teoria dei gruppi. Proprietà dei gruppi ciclici e loro caratterizzazione in base ai suoi sottogruppi.

Anelli commutativi: 0-divisori, elementi nilpotenti, unità. Domini, campi. Estensioni quadratiche. Gli interi di Gauss. Domini euclidei:  ideali principali, esistenza del massimo comun divisore, scomposizione in fattori irriducibili. Morfismi di anelli; il morfismo da Z ad un anello; la caratteristica. Ideali e anelli quoziente; ideale generato da un sottoinsieme. La fattorizzazione di un morfismo di anelli. I teoremi di omomorfismi. Il campo delle frazioni di un dominio; Q, K(X). Divisibilità in un anello. Ideali primi e massimali.

L'anello dei polinomi in una indeterminata a coefficienti in un anello, funzioni polinomiali, grado di un polinomio e sue proprieta', se A e' un dominio anche A[x] lo e'. Polinomi a coefficienti in un campo: zeri e fattori lineari; il lemma di divisione e le sue conseguenze (K[X] è un dominio euclideo, a fattorizzazione unica, ad ideali principali). Il teorema fondamentale dell'algebra. La derivata di un polinomio, molteplicità di una radice. Polinomi reali.

Quozienti di K[X]; forma ridotta. Estensioni di campi; elementi algebrici e trascendenti; polinomio minimo; il sottocampo K(u) di un campo F generato dal sottocampo K di F e dall'elemento u. Il grado di una estensione finita; ogni elemento di una estensione finita è algebrico; il grado della composizione di due estensioni finite; l'insieme dei numeri algebrici è algebricamente chiuso. Campo di spezzamento: esistenza e unicità. Esistenza e unicità del campo con p^n elementi; questi sono gli unici campi finiti.

Testi/Bibliografia

I.N. Herstein: Algebra, Editori Riuniti, 2010

A.Vistoli: Note di Algebra. Bologna 1993/94

 M.Artin: Algebra. Bollati Boringhieri 1997.

E.Bedocchi: Esercizi di Algebra. Pitagora Editrice, Bologna 1995/96

F. Caselli, note di algebra 2, disponibili online 

Metodi didattici

Lezioni tradizionali alla lavagna ed esercitazioni

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame finale è sia scritto che orale. Il compito scritto consiste in alcuni esercizi in cui si dimostra di saper utilizzare gli strumenti acquisiti durante il corso. La prova scritta viene superata riportando una votazione minima di 15/30 e consente di poter sostenere l'esame orale, il quale consiste in una discussione sullo scritto e in domande che tendono ad accertare la conoscenza teorica dei contenuti del corso e la capacità di ragionare su argomenti inerenti al corso. La prova orale può essere sostenuta nello stesso appello della prova scritta o nell'appello successivo, anche se quest'ultima si svolge in un'altra sessione.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Fabrizio Caselli