75602 - ANALISI NUMERICA E MODELLAZIONE GEOMETRICA T

Conoscenze e abilità da conseguire

Il corso si propone come obiettivo l'apprendimento dei fondamenti teorici, degli aspetti numerico-matematici e delle principali metodologie per la rappresentazione e manipolazione matematica di forme. Il percorso formativo prevede di fornire una base di algebra lineare numerica e un'introduzione alla geometria differenziale delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo bi/tridimensionale. Gli strumenti introdotti saranno applicati alla modellazione geometrica di curve, superfici e solidi, cuore dei sistemi di progettazione al calcolatore. Il corso prevede un'attivita' di laboratorio in cui si utilizzera' il software POVRAY.

Contenuti

PARTE A (4 CFU) (modulo 1)

1) Nozioni di analisi matematica

Numeri reali; funzione in una e più variabili; derivata, derivate parziali e vettoriali, direzionale e totale; funzioni crescenti e decrescenti, massimi e minimi.

2) Elementi di algebra lineare e geometria Euclidea

Sistemi di riferimento. Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio.
Vettori geometrici in E^1, E^2, E^3. Basi vettoriali. Sottospazi e generatori. Dimensione.Proprietà ed operazioni; prodotto scalare. Prodotto Vettoriale. Matrici. Operazioni matriciali , determinante, rango di una matrice.

Spazi lineari, basi e cambiamento di base, combinazioni lineari, combinazioni affini, combinazioni convesse. Trasformazioni lineari tra spazi vettoriali. Trasformazioni lineari e matrici. Matrice di una trasformazione lineare rispetto a una base.

Risoluzione di sistemi lineari con il metodo di Gauss. Sistema lineare sovradeterminato risoluzione mediante equazioni normali.

Rappresentazioni cartesiane e parametriche di rette e piani in R^3. Equazione retta e piano in forma esplicita e implicita. Distanza punto retta. vettore ortogonale ad una retta. Distanza di un punto da un piano, vettore ortogonale ad un piano. Fascio proprio di piani,fascio improprio di piani,condizioni di parallelismo / ortogonalità fra rette e piani.

Trasformazioni geometriche piane: traslazione, rotazione, riflessione, shear, composizione di trasformazioni, trasformazioni inverse (forma matriciale). Trasformazioni 3D. Coordinate omogenee. Proiezioni prospettiche.

PARTE B (5 CFU) (modulo 2 e 3)

3) Elementi di geometria differenziale

Curve 2D in forma parametrica, parametrizzazione. Derivata di una curva parametrica, curva regolare, integrale di una curva, lunghezza di una curva , vettore tangente e curvatura, vettore normale, continuita' geometrica e parametrica. Esempi di curve. Curve 3D in forma parametrica, curvatura e torsione. Frenet frame.

Superfici in forma parametrica regolari, piano tangente, vettore normale, curvature principali , curvatura media e curvatura Gaussiana. Generazione di superfici per trasformazione di curve parametriche.

4) Rappresentazione e modellazione geometrica di curve e superfici

4.1) Curve di Bézier

Funzioni polinomiali nella base di Bernestein. Curve di Bézier.Proprietà. Composizione di curve di Bézier. Curve di Bézier razionali. Coniche come razionali quadratiche.

4.1) Curve spline

Spline polinomiali. Curve spline. Spline razionali (NURBS).

4.2) Superfici

Superfici di Bézier, superfici spline, superfici NURBS, e NURBS trimmate. Costruzione di superfici NURBS generate da curve: skinning, estrusione, rigate, sweeping.

5) Interpolazione ed approssimazione polinomiale e con curve parametriche

Interpolazione ed approssimazione polinomiale e spline. Problema di interpolazione di Lagrange ed Hermite. Costruzione di una polinomiale a tratti cubici di Bézier con continuità C^1.

Testi/Bibliografia

Geometria analitica del piano e dello spazio, autore: Abeasis Silvana, Zanichelli.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni in laboratorio informatico. Le esercitazioni affiancano la parte teorica per stimolarne la comprensione.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

PARTE A:

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta finale che consiste di esercizi sul modello di quelli visti a lezione.Per superare l'esame occorre un punteggio minimo pari a 18, ottenuto sommando i punteggi relativi agli esercizi (o alle singole risposte) corretti.

PARTE B:

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta finale da svolgersi in laboratorio che consiste di esercizi sul modello di quelli visti a lezione e 3 domande di teoria. Per superare l'esame occorre un punteggio minimo pari a 18, ottenuto sommando i punteggi relativi agli esercizi (o alle singole risposte) corretti.

Il voto finale conseguito sara' calcolato come media pesata della PARTE A e PARTE B.

Strumenti a supporto della didattica

Dispense, lucidi, esercizi.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~casciola/html/anmg1819.html

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Giulio Casciola

Consulta il sito web di Francesco Regonati