29690 - MECCANICA RAZIONALE T

Anno Accademico 2022/2023

  • Docente: Andrea Mentrelli
  • Crediti formativi: 6
  • SSD: MAT/07
  • Lingua di insegnamento: Italiano
  • Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza
  • Campus: Bologna
  • Corso: Laurea in Ingegneria meccanica (cod. 0927)

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo Studente acquisisce gli strumenti per la modellizzazione e la soluzione di problemi inerenti la statica e la dinamica dei sistemi materiali.

Contenuti

Richiami di calcolo vettoriale e matriciale
Vettori liberi. Componente cartesiana di un vettore; prodotto di uno scalare per un vettore; somma di vettori; prodotto scalare, vettoriale e misto; doppio prodotto vettoriale.
Vettori applicati. Risultante di un sistema di vettori; momento polare; momento assiale; asse centrale; coppie; opreazioni elementari; riduzione di un sistema di vettori applicati; sistemi piani di vettori; sistemi di vettori paralleli.
Operatori matriciali
. Matrici simmetriche e antisimmetriche; matrici di rotazione; trasformazioni di similitudine; autovalori ed autovettori; matrici definite di segno.
Elementi di geometria differenziale delle curve. Vettori funzione; versori tangente, normale principale, binormale; curvatura; triedro di Frenet.

Cinematica del punto
Cinematica lungo una traiettoria assegnata; cinematica vettoriale; velocità ed accelerazione vettoriali; moti piani in coordinate polari; moti centrali; spostamenti elementari.

Cinematica dei sistemi rigidi
Moto rigido; equazioni cartesiane di un moto rigido; angoli di Eulero; formule di Poisson; velocità angolare; legge di distribuzione delle velocità, delle accelerazioni e degli spostamenti elementari; classificazione e proprietà caratteristiche dei moti rigidi; atto di moto; teorema di Mozzi; moti piani e centro di istantanea rotazione.

Cinematica relativa

Teorema di derivazione relativa; teorema di Coriolis; teorema di addizione delle velocità angolari.

Cinematica dei sistemi vincolati
Vincoli, loro classificazione e rappresentazione analitica; sistemi olonomi; spostamenti possibili e virtuali; spostamenti reversibili ed irreversibili. Mutuo rotolamento di due superfici rigide; rotolamento senza strisciamento; traiettorie polari nei moti rigidi piani (base e rulletta).

Geometria delle masse
Concetto di massa; baricentro di un sistema particellare e continuo; teoremi di ubicazione del baricentro; definizione di momento d'inerzia; teorema di Huygens-Steiner; momento di inerzia rispetto ad assi concorrenti; ellissoide e matrice d'inerzia; corpi a struttura giroscopica e giroscopi.

Cinematica delle masse
Quantità di moto; momento della quantità di moto; energia cinetica; teorema del moto del baricentro; primo e secondo teorema di Koenig; rappresentazione dell'energia cinetica per un sistema olonomo.

Forze, Lavoro ed Energia
Modelli e classificazione delle forze; definizione di lavoro elementare ed effettivo; lavoro lungo un cammino finito per forze generali e forze posizionali non conservative; forze conservative; potenziale ed energia potenziale; sistemi di forze e lavoro di un sistema di forze; lavoro virtuale nel caso di corpi rigidi e di sistemi olonomi.

Principi della meccanica
Principio di inerzia; principio di proporzionalità tra forza e accelerazione; principio di azione e reazione; principio di composizione delle forze; legge di gravitazione universale; postulato delle reazioni vincolari; principio di relatività galileiana; attrito dinamico e statico; principio delle reazioni vincolari.

Statica del punto
Equilibrio e quiete di un punto materiale; equilibrio e quiete di un sistema di punti materiali; equazioni di un punto vincolato su una superficie; statica relativa del punto; forza peso; potenziale della forza centrifuga.

Statica del corpo rigido e dei sistemi olonomi
Principio dei lavori virtuali; equilibrio di un corpo rigido; equilibrio di un sistema olonomo. Equazioni cardinali della statica.

Dinamica del punto
Problemi analitici della dinamica del punto; integrali primi delle equazioni di moto; teorema dell'energia cinetica; oscillatori armonici semplice; pendolo semplice.

Dinamica dei corpi rigidi
Equazioni cardinali della dinamica; equazione del moot del baricentro; moto di un corpo rigido con un punto fisso (equazioni di Eulero); moto di un corpo rigido con un asse fisso; equilibratura dinamica.

Elementi di meccanica analitica
Principio di d'Alembert; genesi delle equazioni di Lagrange; equazioni di Lagrange per sistemi conservativi; piccole oscillazioni nell'intorno di una posizione di equilibrio stabile per sistemi ad un grado di libertà.

Stabilità e piccole oscillazioni
Criterio di stabilità di Ljapunov; stabilità dell'equilibrio; stabilità dell'equilibrio di un sistema meccanico soggetto a forze conservative; linearizzazione delle equazioni di Lagrange ed equazioni delle piccole oscillazioni.

Testi/Bibliografia

Teoria

  • P. Biscari, T. Ruggeri, G. Saccomandi, M. Vianello, Meccanica Razionale (Springer, IV edizione, 2022).

Esercizi

  • F. Brini, A. Muracchini, T. Ruggeri, L. Seccia, Esercizi e Temi d'Esame di Meccanica Razionale, (Esculapio, 2019).

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula che illustrano i concetti fondamentali relativi a cinematica, statica, dinamica e meccanica analitica. La teoria è accompagnata ed integrata da esempi, esercizi e dalla descrizione di applicazioni pratiche.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell’apprendimento avviene attraverso un esame che accerta l’acquisizione delle conoscenze e delle abilità attese tramite lo svolgimento di una prova scritta che comprende sia esercizi che domande di teoria.

Strumenti a supporto della didattica

Lavagna e videoproiettore.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Andrea Mentrelli