96993 - MATEMATICA E STATISTICA (9 CFU)

Anno Accademico 2021/2022

  • Docente: Riccardo Biagioli
  • Crediti formativi: 9
  • SSD: MAT/02
  • Lingua di insegnamento: Italiano

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente possiede le conoscenze di base di Matematica, necessarie per affrontare le altre discipline del corso di Laurea di Scienze Naturali. In particolare, lo studente è in grado di: - comprendere ed usare il grafico di una funzione per i modelli matematici; - comprendere l'uso degli strumenti del calcolo differenziale ed integrale e di algebra lineare nelle applicazioni; - usare un semplice software matematico per risolvere equazioni, tracciare grafici e studiarli, eseguire calcoli con derivate, integrali e matrici. Possiede inoltre le conoscenze sui metodi statistici di base. In particolare, lo studente è in grado di: - familiarizzare con il metodo scientifico; - adottare i metodi di analisi statistica di base più adatti per esperimenti sia di campo che di laboratorio.

Contenuti

Elementi di teoria degli insiemi e calcolo combinatorio.

  • La nozione di insieme. Operazioni di unione, intersezione e complemento. Prodotto cartesiano tra due o più insiemi. I numeri naturali, interi, razionali e reali.  
  • Metodi de base per contare: principio di uguaglianza, di somma e di moltiplicazione.  
  • Coefficienti binomiali e binomio di Newton. Prove per assurdo.
  • Numero dei sottoinsiemi di un insieme finito. Permutazioni senza e con ripetizione. Disposizioni senza e con ripetizione. 

Elementi di geometria analitica 

  • Vettori nel piano e nello spazio : operazioni elementari, norma, proiezioni ortogonali. Formula delle distanza tra due punti nel piano e nello spazio.
  • Angoli e trigonometria, prodotto scalare e vettoriale. Area del parallelogramma, volume del parallelepipedo. Lavoro di una forza, velocità.
  • Basi canoniche di R2 e R3. Combinazioni lineari. Dipendenza e indipendenza lineare.
  • Rette e piani nel piano e nello spazio. Coefficiente angolare. Equazioni parametriche e cartesiane. Distanza punto retta.

Matrici e trasformazioni lineari

  • Introduzioni alle applicazioni lineari: omotetie, simmetrie, riflessioni, rotazioni. 
  • Matrici e applicazioni lineari.
  • Matrici: somma e prodotto righe per colonne di matrici. 
  • Matrici quadrate: matrici invertibili, definizione di determinante di una matrice quadrata. Tecniche di calcolo: Sarrus, Laplace. Teorema di Binet.
  • Operazioni elementari sulle righe. Matrici elementari. Metodo di riduzione a gradini di Gauss. Rango di una matrice. Applicazioni per calcolare: la matrice inversa, il determinate, il numero di vettori indipendenti in una famiglia di vettori.

Sistemi lineari.

  • Sistemi compatibili e incompatibili. Il teorema di Rouché-Capelli. Tecniche risolutive. Il metodo di riduzione di Gauss per risolvere sistemi lineari e per calcolare determinanti.
  • Sistemi di Cramer, sistemi con parametro. 

Funzioni elementari e nozioni relative.

  • Dominio e condominio. Immagine e immagine inversa di un insieme tramite una funzione. Grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Composizione tra funzioni e funzione inversa. 
  • Funzioni polinomiali, razionali, potenze, esponenziali, periodiche, trigonometriche e loro grafici.
  • Funzioni inverse: logaritmo, arcoseno, arcocoseno, arcotangente.
  • Esempi concreti: scarica di un condensatore, crescita maltusiana, fenomeni vibratori, datazione del carbonio.

Funzioni di una variabile reale.

  • Successioni e limiti di successioni. Il numeri di Eulero e logaritmi nepesini. Funzioni, funzioni composte, funzioni inverse, funzioni numeriche reali, in particolare limiti e asintoti, continuità. Teorema della permanenza del segno e del confronto. Operazioni algebriche sui limiti. Limiti notevoli.

Calcolo differenziale.

  • Derivate e differenziali, loro significato, regole di derivazione, formula di Taylor, teorema di de l'Hopital, studio del grafico di una funzione.

Calcolo integrale.

  • Primitive, integrale definito (secondo Riemann) e sue proprietà, teorema del valor medio, teorema fondamentale del calcolo integrale, tecniche di integrazione (integrazione per parti e per sostituzione), applicazioni dell'integrale definito.

Equazioni differenziali.

  • Risoluzione di equazioni differenziali lineari del primo ordine e a variabili separabili. Problema di Cauchy.

Funzioni reali di due variabili.

  • Derivate parziali, massimi, minimi, punti di sella, integrali doppi.

Testi/Bibliografia

  • Bigatti, Robbiano. Matematica di base. Seconda edizione. Cea. Zanichelli. 
  • Bramanti, Pagani, Salsa, Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli.
  • Altri documenti saranno disponibili su Virtuale.

Metodi didattici

Lezioni frontali in presenza. Ogni settimana viene fornita agli studenti una lista di esercizi su cui esercitarsi. Almeno due ore la settimana sono dedicate alla risoluzione alla lavagna da parte del docente degli esercizi della lista fornita.

Altri fogli di esercizi saranno distribuiti e corretti da un tutor durante esercitazioni supplementari che gli studenti possono seguire su base volontaria. 

 

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame è costituita da un prova scritta e da una prova orale. Per partecipare a ciascuna prova è obbligatoria l'iscrizione al relativo appello sul sito AlmaEsami. Nel caso si sia impossibilitati a sostenere l'esame è obbligatorio cancellare la suddetta iscrizione.

La prova scritta prevede la risoluzione di esercizi e di problemi e mira a valutare la capacità dello studente di saper applicare gli strumenti teorici forniti nel corso. Durante la prova scritta non è ammesso l'uso di libri o appunti, o di ausili elettronici di alcun tipo. La valutazione dello scritto è in trentesimi e prevede una votazione minima di 15/30 per essere ammessi alla prova orale. Il risultato viene inserito sul sito AlmaEsami ed ha validità per l'intero a.a. 2021/22. 

La prova orale verte a verificare la conoscenza teorica della materia. La valutazione finale terrà conto delle due prove nel loro complesso e la relativa verbalizzazione viene effettuata al termine della prova orale. Ulteriori dettagli sono forniti su virtuale.

Le date degli appelli di esame saranno disponibili sul sito AlmaEsami con ampio anticipo.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Riccardo Biagioli

Consulta il sito web di Federico Plazzi