87294 - ANALISI MATEMATICA T-B

Conoscenze e abilità da conseguire

Aspetti metodologico-operativi dell'analisi matematica, con particolare riguardo alle funzioni di più variabili reali e alle equazioni differenziali, al fine di saper interpretare e descrivere i problemi dell'ingegneria.

Contenuti

Affinamento e arricchimento degli strumenti matematici di base (calcolo differenziale multi-variato, serie numeriche, curve e superfici, vari tipi di integrale: multiplo, curvilineo e di superficie) per la risoluzione di tipici problemi applicativi.

--Programma/Contenuti

Calcolo differenziale per funzioni in più variabili:

Introduzione: Elementi di topologia in R^n, prodotto scalare e norma. Funzioni da R^n in R^m. Limiti e continuità. Teorema di Bolzano. Teorema di Weierstrass.

Funzioni di più variabili a valori reali: Derivate direzionali, parziali e differenziabilità per funzioni di più variabili a valori reali o vettoriali. Gradiente e sue proprietà. Derivate di ordine superiore. Matrice Jacobiana e Hessiana. Lemma di Schwarz. Formula di Taylor al secondo ordine. Piano tangente. Matrice Jacobiana della composizione di funzioni.

Applicazioni del calcolo differenziale:

Massimi e minimi relativi liberi. Teorema di Fermat. Richiami su forme quadratiche associate a matrici simmetriche e la loro classificazione. Classificazione dei punti critici: condizioni necessarie e/o sufficienti per funzioni C^2.

Misura e integrazione per funzioni in più variabili:

Misura di Peano-Jordan. Integrale di Riemann per funzioni da R^n (n=2,3) in R. Proprietà dell'integrale: additività, monotonia, linearità. Teoremi di riduzione degli integrali doppi e tripli in domini semplici. Cambiamento di variabile per l'integrale multiplo. Coordinate polari, sferiche, cilindriche.

Serie e successioni numeriche:

Generalità sulle successioni e le serie numeriche: definizioni, criteri di convergenza: rapporto, confronto, serie a segno alternante. Serie a termini positivi e assoluta convergenza.

Curve in forma parametrica ed integrali curvilinei:

Curve regolari: Curve regolari e regolari a tratti. Orientamento e curve orientate. Integrali curvilinei di I e II specie su curve orientate. Applicazoini allo studio dei campi di vettori: campi esatti (e loro potenziali), conservativi e chiusi. Il Teorema di Poincaré. Formule per un potenziale.

Superfici regolari: Cenni di integrazione di superficie (misura di una superficie e flusso di un campo attraverso una superficie); Teorema di Gauss-Green in R^2, della Divergenza (in R^2 e R^3) e di Stokes.

Testi/Bibliografia

C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2 (Zanichelli);

W. Rudin: Analisi Reale e Complessa (Boringhieri);

E. Giusti: Analisi Matematica 2 (Boringhieri).

S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Matematica volume 2 (Zanichelli);

Marcellini Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Secondo volume (Liguori Editore);

M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Progetto Leonardo - Esculapio (2012).

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula. Materiale complementare al corso sarà disponibile su IOL: https://iol.unibo.it/

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Modalità ordinaria. L'esame deve svolgersi in presenza, a meno che le regole d'Ateneo richiedano di applicare la modalità a distanza, le cui regole sono riportate in calce.

Per poter accedere all'esame, in ogni sua fase, è sempre obbligatorio iscriversi alle liste degli appelli pubblicate su AlmaEsami [https://almaesami.unibo.it/almaesami/welcome.htm]

La prova d'esame finale consiste in una prova scritta (suddivisa in due parti, A e B, tra loro propedeutiche) e una orale-scritta (suddivisa in due parti, C e D, tra loro propedeutiche). La prova prova scritta (A+B) ha una durata complessiva di 2 ore; ad essa si accede previa iscrizione alle liste aperte su AlmaEsami dal docente. Superano la prova A gli studenti che ottengono almeno 4 punti su 9. Per gli studenti che non superano la prova A non si procederà alla correzione della prova B. Tali studenti dovranno ripetere l'esame dall'inizio. Si considera superata la prova B se il candidato realizza almeno 6 punti su 10. Il non superamento della parte B determina la decadenza della validità del punteggio positivo della prova A. Gli studenti che studenti che non superano la prova B dovranno ripetere l'esame dall'inizio.

Gli studenti che superano entrambe le prove (A e B) sono ammessi alle successive fasi (orale-scritta) e possono iscriversi alle liste di AlmaEsami pubblicate dal docente denominate C e D. Le prove C e D ("orale-scritta") sono così organizzate: la prova C, della durata di 30 minuti e del valore complessivo di 5 punti, è somministrata dal docente con testo scritto. Il candidato è tenuto a svolgerla per iscritto. Al termine della prova C, se la somma dei punteggi realizzati nelle prove A, B e C è maggiore o uguale a 15, il candidato sarà ammesso alla fase D che avrà luogo immediatamente dopo sotto forma di un breve colloquio (con la commissione) svolto (dal candidato) alla lavagna sui contenuti del corso. Potranno inoltre essere richiesti ulteriori chiarimenti sulle prove A,B, C svolte dal candidato.

Nel caso in cui la somma dei punteggi delle prove A, B e C sia inferiore a 15, lo studente non è ammesso alla fase D e decade il valore di tutte le precedenti prove A e B le quali dovranno essere quindi ripetute in altri appelli.

La valutazione della fase D varia da -6 punti a +6 punti.

Il voto finale dell'esame è dato dalla somma algebrica dei punteggi ottenuti nelle prove A, B, C, D a cui si aggiungono fino a 2 punti ulteriori a discrezione del docente

Nel caso in cui il punteggio così ottenuto sia inferiore a 18, lo studente è respinto e deve ripetere l'esame dall'inizio, essendo decaduta la validità di ciascuna delle prove A,B,C e D.

Le eventuali lodi sono attribuibili, a discrezione del docente, nei soli casi in cui, sommando i punteggi delle prove A, B, C, D si ottenga un punteggio maggiore o uguale a 28.

La validità del punteggio delle prove A e B, se entrambe positive, è limitato alla sola sessione d'esami d'esami in cui sono state sostenute, per cui non hanno validità per eventuali appelli appartenenti a sessioni d'esami successivi.

Esempio di prova A+B [https://campus.unibo.it/239076/1/A2_III_appello_160211.pdf]

Esempio di prova C [https://campus.unibo.it/239077/1/C_A2_16_02_16.pdf]

 

Modalità a distanza (applicabili solo su disposizione dell'Ateneo)

L'esame verrà effettuato da remoto, usando le piattaforme EOL (Esami OnLine), Zoom Meetings, Teams.

E' necessario quindi disporre di un computer dotato di microfono e webcam ed una connessione internet che supporti una buona trasmissione audio/video.

All'esame si accede unicamente iscrivendosi alle liste presenti su AlmaEsami.

Durante la prova d'esame è possibile utilizzare penne, matite, carta su cui scrivere.
Non è possibile utilizzare calcolatrici (di qualsiasi genere), libri, appunti, altri supporti cartacei o elettronici

La prova d'esame è formata da una prova scritta (due questionari a risposta multipla: uno per la parte di teoria, uno per la parte di esercizi) e da una prova orale obbligatoria.

I questionari vengono proposti in sequenza il giorno della prova scritta (prima la parte di teoria, poi quella riguardante gli esercizi). Per essere ammessi al secondo questionario occorre aver superato il primo.

Il primo questionario, della durata di 30 minuti, è formato da 10 quesiti a risposta multipla: per ogni domanda, una sola risposta è esatta, del valore di 1 punto; la risposta sbagliata o non data vale 0 punti. Per il superamento
del primo questionario, il punteggio minimo richiesto è 5 punti, su un massimo di 10. La valutazione, con il punteggio ottenuto, è immediata dopo la chiusura del questionario.

Il secondo questionario, della durata di 90 minuti, è formato (al più) da 8 quesiti a risposta multipla: per ogni domanda, del valore di 2 o 3 punti (o comunque di un punteggio tale per cui, tenuto conto degli esercizi assegnati la somma dia 20), una sola risposta è esatta; la risposta sbagliata o non data vale 0 punti. Per il superamento del secondo questionario, il punteggio minimo richiesto è 10 punti, su un massimo di 20. La valutazione, con il punteggio ottenuto, è immediata dopo la chiusura del questionario.
Durante questa fase la commissione potrà chiedere ai candidati di caricare copia del proprio elaborato sulla piattaforma IOL o EOL.
Il mancato superamento del secondo questionario determina la decadenza della validità del punteggio ottenuto nel primo questionario.

Chi ottiene almeno il minimo nel primo questionario (5 punti su 10) e almeno il minimo nel secondo questionario (10 punti su 20) viene ammesso a sostenere la prova orale (online) che verrà fissata successivamente. Qualora le restrizioni vigenti lo consentano, gli studenti potranno sostenere la prova orale anche in presenza.

Il respingimento all'orale determina la decadenza della validità dei punteggi ottenuti nei questionari.



Si consiglia di leggere le seguenti istruzioni


https://www.unibo.it/it/servizi-e-opportunita/servizi-online/servizi-online-per-studenti-1/lezioni-ed-esami-online

Strumenti a supporto della didattica

Materiale didattico eventualmente messo a disposizione dai docenti sulla piattaforma IOL https://iol.unibo.it/ . Eventuale tutoraggio (qualora assegnato).

Link ad altre eventuali informazioni

https://www.unibo.it/sitoweb/fausto.ferrari

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Fausto Ferrari