- Docente: Piero Plazzi
- Crediti formativi: 6
- SSD: MAT/01
- Lingua di insegnamento: Italiano
- Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza
- Campus: Bologna
- Corso: Laurea in Matematica (cod. 8010)
Conoscenze e abilità da conseguire
Al termine del corso, lo studente acquisisce competenze di base riguardo alla formalizzazione del linguaggio matematico, con particolare rilievo alla distinzione tra livello sintattico e semantico. Sa usare le competenze acqusite per eseguire calcoli sintattici per la nozione di conseguenza logica al primo ordine.
Contenuti
Prerequisiti. Matematica a livello preuniversitario, conoscenza delle più comuni procedure dimostrative in matematica, concetti di base in algebra e teoria degli insiemi.
0. Introduzione: alcuni termini fondamentali. Logica
matematica, simbolica, formale; ragionamenti (formalmente)
corretti; sintassi, semantica; linguaggio oggetto,
metalinguaggio.
1 Calcolo degli enunciati. Enunciati e logica
proposizionale: connettivi, funzioni e tavole di verità.
Impostazione formale della sintassi (assiomi di Hilbert-Ackermann,
deduzione naturale) e della semantica proposizionale. Tautologie.
Forme normali e adeguatezza.
2.1 Calcolo dei predicati. Alfabeto, variabili, quantificazione; fbf, variabili libere o vincolate, enunciati. Semantica: interpretazioni, soddisfacibilità, verità, validità logica. Modelli.
2.2 Regole e derivazioni, teorie, assiomi, teoremi (assiomi di Hilbert-Ackermann, deduzione naturale). Effettività (cenni). Teorema del modello. Teoremi di correttezza e completezza (Gödel); compattezza e modelli non standard.
3. Due teorie fondamentali (accenni). 3.1 L'aritmetica formale (PA): confronto con gli assiomi originali di Peano. Induzione. Cenno all essenziale'incompletezza di PA (primo e secondo teorema di Gödel).
3.2 La teoria intuitiva degli insiemi, i suoi paradossi e la
teoria formale di Zermelo-Fraenkel.
Testi/Bibliografia
Per le parti 1 e 2 (Logiche degli enunciati e dei predicati)
sono disponibili appunti delle lezioni nel sito 'virtuale' (quando aggiornato): a queste si può far riferimento per maggiori dettagli sul programma.
Si possono comunque studiare questi argomenti in:
G. LOLLI, Introduzione alla logica formale, Bologna Il Mulino
In inglese: H.-D. EBBINGHAUS, J. FLUM, W. THOMAS, Mathematical Logic, Springer
Per alcuni approfondimenti si veda anche: E. BENCIVENGA, Il primo libro di logica-Introduzione ai metodi della logica contemporanea, Torino Bollati Boringhieri.
Per la parte 3 (PA e ZF) si possono consultare le dispense del corso di Princìpi della Matematica (LM in Matematica), sempre nel sito indicato. Questi argomenti vengono trattati approfonditamente ma con qualche variante in:
E. MENDELSON, Introduzione alla Logica Matematica, Torino Bollati Boringhieri
La teoria assiomatica degli insiemi è esposta in maniera semplice ma efficacissima in P. R. HALMOS, Teoria elementare degli insiemi, Milano Feltrinelli (titolo originale: Naïve set theory: ma viene esposta non la teoria 'ingenua' ma quella assiomatica, sia pure senza formalismi!). Purtroppo questo testo è consultabile solo nelle biblioteche.
Metodi didattici
Il corso mira a mettere in rilievo non soltanto i legami
della Logica con i Fondamenti della Matematica, ma anche la sua
rilevanza culturale autonoma. Oltre alle lezioni, è disponibile materiale didattico e si prevede attività di ricevimento studenti per una didattica personalizzata. Quando la necessità lo imponesse, lezioni, esami e ricevimento studenti si terranno in forma telematica (posta elettronica, ecc.)
Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento
La verifica consiste in una prova orale: mediante un colloquio (online quando necessario) basato su tre domande riguardanti le parti in cui è suddiviso il programma: lo studente dovrà dimostrare la sua capacità di padroneggiare e valutare criticamente i concetti fondamentali del corso, anche risolvendo semplici esercizi .
Strumenti a supporto della didattica
Oltre alle lezioni frontali alla lavagna (anche via webcam se sarà possibile), sono disponibili dispense e note di approfondimento su sungoli punti del programma; chiarimenti personalizzati per i singoli studenti che ne facciano richiesta
Link ad altre eventuali informazioni
Orario di ricevimento
Consulta il sito web di Piero Plazzi