00537 - ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente acquisisce: - familiarità con alcuni importanti modelli della Fisica nell'ambito della Meccanica Newtoniana classica (formalismo dei sistemi dinamici) della Meccanica Analitica e della Meccanica dei mezzi continui; - tecniche e strumenti matematici in grado di affrontare il problema dell'integrabilità dei sistemi studiati.

Contenuti

Elementi di calcolo e di analisi tensoriale per una rivisitazione dell Algebra Lineare.

Fondamenti geometrici e cinematici della meccanica Newtoniana e Lagrangiana. Aspetti cinematici dei sistemi discreti e continui: caratterizzazione dei moti rigidi.

Il formalismo dei Sistemi Dinamici (SD) in Meccanica Newtoniana, in Astrofisica, per le linee di campo magnetico, e in Dinamica delle Popolazioni, come il modello a due specie interagenti preda-predatore di Lotka-Volterra verso i modelli SIR per la diffusione di Virus. Configurazioni di equilibrio e analisi della loro stabilità, lineare e non, in base alla def. di stabilità/instabilità di Ljapunov, mediante i 2 Criteri di stabilità di Ljapunov, della stabilità linearizzata e della Funzione di Ljapunov/metodo dell'Energia. Classificazione topologica nel caso di SD in R^2.

Sistemi conservativi a un grado di libertà e riconducibili. Analisi qualitativa dei moti, al variare delle condizioni iniziali: Teorema di Conservazione dell'Energia totale E e Teorema del periodo. Nel Piano delle Fasi R^2 studio della stabilità delle configurazioni stazionarie/d'equilibrio: centri stabili o posizioni a sella instabili in base ai due criteri di stabilità di Ljapunov. Orbite di fase e ritratti di fase.

Oscillazioni smorzate e forzate e sistemi dinamici lineari. Le principali variabili dinamiche e i Teoremi generali di conservazione per sistemi a più gradi di libertà (liberi e/o vincolati). Aspetti cinematici dei moti centrali, come esempi di moti piani: piano di Laplace descritto in coordinate polari verso l'espressione della velocità, radiale e trasversa,  e dell'accelerazione, radiale e trasversa, nei 2 modi.

La Formula di Binet e il suo ruolo nella Dinamica dei moti centrali ad un corpo.

Analisi qualitativa dei moti di un punto materiale, soggetto ad una forza centrale: proprietà delle forze centrali verso i Teoremi di riduzione e del Periodo Radiale. Orbite circolari e analisi della loro stabilità con la tecnica perturbativa verso moti circolari uniformi.

Il Problema della caduta nel centro del moto.

Orbite non singolari in un campo centrale: il ruolo della ODE di Clairaut, con relativo Problema di Cauchy, anche in forma approssimata per le orbite vicine ad una circolare stabile.

Angolo apsidale verso Il Teorema di Bertrand: moti periodici o moti a rosetta. il problema di Keplero vs quello perturbato: pulsazioni critiche e fenomeni di precessione.

L'integrabilità del Problema dei due corpi isolati: massa ridotta, vettore posizione relativo, legge di attrazione universale, sistema baricentrale verso l'espressione dell'Energia orbitale.

Dinamica del corpo rigido, espressione dell'Energia Cinetica K verso il Teorema di Konig: angoli di Eulero, le equazioni di Eulero e i moti per inerzia/alla Poinsot.

Passaggio dalla Meccanica Newtoniana alla Meccanica Analitica: sistemi olonomi a l gradi di libertà, vincoli di posizione, fissi o mobili, coordinate e velocità lagrangiane, spostamenti effettivi e virtuali, unilateri e bilateri, vincoli lisci/ideali. Caratterizzazione dei vincoli ideali mediante il Principio delle Reazioni Vincolari: il Principio dei Lavori Virtuali in Statica e il Principio di d'Alembert in Dinamica.

Caratterizzazione del sistema olonomo mediante il Principio di d'Alembert verso le equazioni del moto di Lagrange.

Espressione dell'Energia Cinetica K di un sistema olonomo: Matrice Cinetica G e le sue proprietà.

Def. di vettore impulso generalizzato, coniugato ad una coordinata: invertibilità locale per dedurre il vettore velocità generalizzata verso uno spazio delle fasi R^2l+1, descritto da coordinate-velocità e tempo o da coordinate-impulsi e tempo.

Descrizione Lagrangiana della Meccanica Analitica: funzione di Lagrange ed Equazioni di Lagrange. Integrali primi del moto immediati: coordinate cicliche e vincoli fissi.

Integrabilità di un modello con l=2, avente una coordinata ciclica e con vincoili fissi: come esempio il Problema dei due Corpi isolati.

Configurazioni di equilibrio /di stazionarietà e analisi della loro stabilità verso l'espressione linearizzata della Lagrangiana per lo studio delle piccole oscillazioni di un sistema attorno ad una configurazione di equilibrio stabile.

Integrabilità del sistema degli l-oscillatori mediante il Teorema dei Modi Normali: moti periodici o quasi periodici, espressione dell'Energia totale E e il ruolo strategico delle variabili Azione-Angolo.

Dalla Descrizione Lagrangiana alla Descrizione Hamiltoniana della Meccanica Analitica: trasformazioni di Legendre e def. di Funzione di Hamilton H come trasformata di Legendre della Lagrangiana.

Il Teorema di equivalenza fra le ODEs del secondo ordine di Lagrange in R^l e il Sistema Dinamico Canonico/Hamiltoniano, del primo ordine in R^2l, caratterizzato dal gradiente simplettico di H.

Proprietà dei SD Hamiltoniani: Teorema di Conservazione dei Volumi e ruolo di Energia Totale di H nel caso di Vincoli Fissi.

Il formalismo delle Parentesi di Poisson nella descrizione Hamiltoniana in MA: osservabili, integrali Primi del Moto, caratterizzati mediante la def. di Parentesi di Poisson verso il Teorema di Jacobi.

Parentesi di Poisson Fondamentali con un ruolo strategico nel formalismo delle Trasformazioni Canoniche in MA, verso due CNS di Canonicità.

Il Formalismo del Calcolo delle Variazioni in Meccanica Analitica: def. di Azione Hamiltoniana A e S nelle due descrizioni Lagrangiana e Hamiltoniana, classe regolare dei moti, moti variati sincroni, def. di estremali dei funzionali Azione, verso il Principio di Hamilton per la deduzione variazionale delle Equazioni Di Lagrange o di Eulero-Lagrange, e del Sistema Canonico Hamiltoniano.

Forme differenziali di Poincaré-Cartan e Condizione di Lie verso il ruolo delle Funzioni generatrici nelle Trasformazione Canonica.

Azione Hamiltoniana ridotta W, per vincoli fissi verso il Principio di Maupertuis-Lagrange nel caso di moti geodetici.

Metodo di Hamilton-Jacobi per l'integrabiltà: Funzione principale di Hamilton, funzioni generatrici di prima/di seconda specie, verso l'Equazione di Hamilton-Jacobi, la cui separabilità porta al Teorema di Jacobi per l'integrabilità di un sistema. Il caso dei vincoli fissi: def. di funzione caratteristica di Hamilton.

Esempi di separabilità dell'Equazione di Hamilton-Jacobi: il Problema dei due Corpi e il modello dei due o più oscillatori separati.

Testi/Bibliografia

Fasano-Marmi: Meccanica Analitica, Boringhieri
T. Ruggeri: Introduzione alla Termomeccanica dei continui, Monduzzi 2007
Appunti (teoria ed esercizi) pubblicati su Virtuale.

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula, in cui vengono presentati gli elementi fondamentali della Meccanica classica e analitica, con elementi di Meccanica dei Continui. Alla presentazione teorica di ogni argomento vengono associate diverse lezioni dedicate a esercizi, nei diversi formalismi, con lo scopo di farne acquisire il metodo di risoluzione.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta finale di due/tre ore, durante la quale è ammesso l'uso di materiale didattico, e una successiva prova orale su alcuni argomenti legati alle principali tematiche del corso. La prova scritta ha lo scopo di accertare le abilita' acquisite nel risolvere problemi nell'ambito dei diversi formalismi presentati. Essa viene valutata attraverso un giudizio, che deve risultare positivo per consentire l'accesso alla prova orale. All'inizio del corso, il docente valutera' l'opportunita' di sostituire la prova scritta unica con due prove scritte parziali, in corso d'anno, sui principali formalismi della Meccanica Newtoniana e della Meccanica Analitica rispettivamente.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Franca Franchi