93095 - MATEMATICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente ha compreso ed è in grado di utilizzare gli strumenti elementari dell'analisi matematica delle funzioni di una variabile reale; possiede le conoscenze di base della teoria delle matrici e dell'algebra lineare. In particolare, lo studente è in grado di: - calcolare limiti, derivate e polinomi di Taylor di una funzione - studiare il grafico di una funzione - calcolare integrali e integrali generalizzati di una funzione - risolvere sistemi lineari operando con vettori e matrici - riconoscere insiemi linearmente indipendenti e sottospazi - calcolare prodotti interni, norme, proiezioni ortogonali - diagonalizzare matrici quadrate.

Contenuti

Gli insiemi numerici N, Z, Q, R e la loro struttura.

La funzione reale di variabile reale: definizione e proprietà. Le funzioni elementari: lineari, quadratiche, funzioni potenza con esponente intero o frazionario, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Le funzioni quasi elementari. Esempi di modelli matematici in finanza.

La matematica discreta: calcolo combinatorio e successioni di numeri reali. Limiti di successioni. Le serie numeriche reali; serie aritmetica, serie geometrica e serie armonica. Serie a termini positivi e criteri di convergenza. Le serie geometriche in finanza.

Definizione di limiti per le funzioni reali: proprietà e teoremi. Infinitesimi e infiniti. Le funzioni continue; teoremi locali delle funzioni continue. Teoremi globali delle funzioni continue: Bolzano, Weierstrass e Darboux.

La derivata e il suo significato geometrico. Algebra delle derivate. Derivate di funzioni composte. Ottimizzazione non vincolata per funzioni in una variabile. Condizioni del primo ordine per l’esistenza di massimi e minimi. Teoremi sulle funzioni derivabili: Rolle, Lagrange e Cauchy. Il teorema di de l'Hospital. Concavità e convessità. Condizioni del secondo ordine per l’esistenza di massimi e minimi. Le formule di Taylor e Taylor-MacLaurin.

Definizione di integrale e sue proprietà. Condizioni di integrabilità. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Le funzioni primitive e dli integrali definiti. L’integrazione per parti e per sostituzione. Integrali generalizzati di funzioni non limitate o definite su intervalli illimitati.

Spazio vettoriale n-dimensionale; sottospazi, indipendenza lineare, generatori di uno spazio vettoriale, basi e dimensione. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali L’algebra delle matrici. Determinante di matrici e sviluppo di Laplace. Proprietà del determinante. La matrice inversa e proprietà. Il rango e le proprietà.

Le funzioni in più variabili. Derivate parziali e differenziabilità. Vettore gradiente. Matrice Hessiana. Ottimizzazione non vincolata per funzioni in più variabili.

Sistemi lineari; rappresentazione vettoriale e matriciale. Sistemi lineari di n equazioni in n incognite e regola di Cramer. Sistemi lineari di m equazioni in n incognite e teorema di Rouchè-Capelli.

Auto-vettori ed autovalori reali di una matrice quadrata reale. Caratterizzazione degli autovalori di una matrice, polinomio caratteristico.

Le esercitazioni settimanali permettono agli studenti di verificare la capacità di applicare le nozioni teoriche spiegate a lezione.

 

Testi/Bibliografia

In alternativa uno dei due testi, sia per studenti frequentanti che non frequentanti:

- K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Strom (a cura di D. La Torre), Metodi Matematici per l'Analisi Economica e Finanziaria, Pearson.

- Castagnoli, Marinacci, Vigna, Principi di Matematica per l'Economia, EGEA.

Inoltre nell'applicativo Virtual Learning è disponibile una dispensa di esercizi con soluzioni per la preparazione della prova scritta.

Metodi didattici

Le lezioni frontali vedono la partecipazione degli studenti in aula o a casa attraverso lo svolgimento di esempi che vengono poi corretti collegialmente. Inoltre alla fine di ogni lezione vengono assegnate delle applicazioni relative agli aspetti teorici affrontati a lezione, le cui soluzioni vengono illustrate all'inizio della lezione successiva.

Gli studenti sono invitati a presentare brevi case studies sulle applicazioni finanziarie della matematica utilizzando materiale fornito dalla docente; ogni settimana si organizzano gruppi di 3-5 studenti che le presentazioni da esporre in aula.  

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova scritta di Matematica è suddivisa in due parziali il cui punteggio è espresso in trentesimi. Il punteggio finale è quindi dato dalla media delle due prove scritte parziali e permette di superare l'esame se è maggiore o uguale a 18.

Ognuna delle due prove scritte è organizzata di 9/10 esercizi indipendenti, ogni esercizio assegna un punteggio scritto in chiaro nella prova. 

Nel caso in cui il risultato della prima prova scritta parziale non sia soddisfacente, lo studente può ripeterla in occasione della seconda prova scritta parziale.

La prova orale è facoltativa e il voto finale dell'esame è dato dalla media tra il voto scritto e quello orale.

Le prove scritte sono open-book, quindi lo studente può consultare appunti e testi durante gli esami, non può utilizzare la calcolatrice programmabile.

E' facoltativa la redazione di un case study su materiale concordato con la docente, da presentare in aula, che, in caso di valutazione positiva, può assegnare due punti aggiuntivi rispetto alla media finale tra le due prove scritte. 

 

 

 

Strumenti a supporto della didattica

La frequenza del crash course (precorso) online è vivamente consigliata, in particolare a chi si trova in una situazione di debito OFA.

La frequenza delle esercitazioni che affiancano le lezioni di teoria è cruciale per cogliere le applicazioni matematiche in finanza, assicurazioni e impresa. 

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Maria Letizia Guerra