29228 - GEOMETRIA E ALGEBRA T

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscenza degli strumenti principali dell'algebra lineare (matrici, spazi vettoriali, sistemi lineari, autovalori, forme quadratiche) e loro applicazione in ambito geometrico, garantendo sia la comprensione dei legami tra le diverse parti della teoria, sia la capacità operativa.

Contenuti

TEORIA

[Equazioni e sistemi lineari] Alcune strutture algebriche (gruppi, anelli, campi). Operazioni standard su Kn. Sistemi lineari.

[Matrici] Definizioni iniziali. Operazioni. Sistemi lineari e matrici.

[Spazi vettoriali] Definizioni iniziali. Sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari. Sottospazio somma. Spazi riga e colonna di una matrice.

[Basi] Dipendenza lineare. Basi e dimensione. Rango di una matrice. Sistemi lineari.

[Applicazioni lineari] Linearità. Isomorfismi. Nucleo e immagine.

[Rappresentazioni matriciali di applicazioni lineari] Applicazioni lineari, basi, matrici.

[Determinanti] Permutazioni. Determinante. Proprietà dei determinanti. Sviluppo di Laplace. Matrice inversa. Determinante di un endomorfismo. Rango di una matrice. Sistemi lineari.

[Rappresentazioni di sottospazi] Rango, nucleo, immagine. Rappresentazioni cartesiana e parametrica.

[Autovalori e autovettori] Autovalori ed autospazi di un endomorfismo. Matrici simili. Polinomio caratteristico. Diagonalizzazione di matrici.

[Spazi vettoriali euclidei] Prodotti scalari e norme indotte. Ortogonalità. Basi ortogonali e ortonormali. Isometrie. Complemento ortogonale. Prodotto vettoriale.

[Spazi euclidei] Sottospazi euclidei. Rappresentazioni di sottospazi euclidei. Parallelismo e ortogonalità nello spazio euclideo tridimensionale.

ESERCITAZIONI
Calcolo di determinanti e ranghi di matrici. Discussione e risoluzione di sistemi lineari. Reperimento e rappresentazione di applicazioni lineari. Determinazione delle equazioni di sottospazi vettoriali. Passaggio fra le rappresentazioni. Calcolo di autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Risoluzione di problemi di parallelismo e ortogonalità in R^3. Calcolo dell'angolo fra due rette.

Per ulteriori dettagli si veda la pagina web http://www.dm.unibo.it/~frosini/programmi/programmacorso2020.shtml

Testi/Bibliografia

A. Gimigliano, A. Bernardi, "Algebra lineare e geometria analitica", CittàStudiEdizioni, 2014.

Metodi didattici

Lezioni frontali.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

A causa dell'epidemia di Covid-19 in corso le modalità d'esame descritte di seguito sono temporaneamente sospese. Consultare la pagina web http://www.dm.unibo.it/~frosini/modalitaesame2020.shtml

=======

L'esame consiste in una prova scritta obbligatoria ("prova finale") e una prova orale facoltativa (da cui può essere sospeso l'esonero a giudizio del docente). Entrambe abbracciano l'intero programma svolto a lezione.

La prova scritta è composta da due parti: una scheda di teoria con 36 domande e un foglio di esercizi. La scheda di teoria dev'essere compilata durante la prima ora in totale assenza di ausilii, mentre durante la seconda ora, destinata agli esercizi, si consente e anzi si raccomanda di avvalersi di libri e appunti. E' ammesso anche l'uso di calcolatrici, ma solo per il calcolo numerico elementare. Le schede di teoria vengono raccolte tutte insieme allo scadere della prima ora. Sul foglio di esercizi devono essere trascritti, negli spazi indicati, solo i risultati finali dei calcoli.

Per essere ammessi alla prova orale è necessario aver ottenuto almeno 6 punti sia nel questionario di teoria che negli esercizi. Le prove che non raggiungono queste soglie vengono segnalate nella lista dei voti come N.A., cioè Non Ammesso alla prova orale (comunque facoltativa). Il voto finale delle prove scritte è semplicemente la somma dei punteggi conseguiti nelle scheda di teoria e negli esercizi, arrotondata all'intero superiore. Salvo casi eccezionali, il voto finale ottenuto con la prova orale può differire dal punteggio totale della prova scritta di al più 8 punti. ATTENZIONE: se il voto ottenuto nel questionario risulta inferiore a 6 non verrà corretta la parte relativa agli esercizi. Gli esercizi verranno corretti su richiesta durante il ricevimento studenti.
Qualora la soglia di 6 punti sia raggiunta o superata sia nel questionario teorico che negli esercizi, il voto finale della prova scritta è semplicemente la somma dei punteggi conseguiti nelle sue due parti, arrotondata all'intero superiore. Tale somma di punteggi viene registrata come voto definitivo (o usata come voto di riferimento per un eventuale orale) nel senso che, però, si registrano come 30 i voti 30, 31, 32, e come lode i 33, 34, 35, 36. Se superiore a 18, tale voto definitivo può essere direttamente verbalizzato. La verbalizzazione viene ordinariamente fatta in presenza dello studente, nel corso delle prove orali di un qualunque appello d'esame dell'anno accademico in cui si è sostenuta la prova scritta. Solo nel caso di gravi impedimenti personali verrà concesso di verbalizzare il voto ottenuto con diversa modalità.

 

ATTENZIONE: se si sono ottenuti almeno 6 punti sia nel questionario di teoria che negli esercizi è concesso presentarsi alla prova orale anche con voto inferiore a 18. In tal caso, però, l'eventuale esito negativo verrà registrato a verbale.

I voti sufficienti conseguiti nelle prove finali d'esame restano validi per tutto l'anno accademico. Ogni studente che abbia ottenuto un voto superiore o uguale a 18 nella prova scritta di un appello ha la possibilità di sostenere una prova orale facoltativa nello stesso appello (o anche in un altro appello del medesimo anno accademico). I voti inferiori a 18 ottenuti prendendo almeno 6 in entrambe le parti della prova scritta danno diritto a sostenere la prova orale facoltativa solo all'interno dello stesso appello della prova scritta. In base all'esito della prova orale il voto precedentemente acquisito può essere incrementato. Salvo casi eccezionali, il voto finale ottenuto con la prova orale può differire dal punteggio totale della prova scritta di al più 8 punti.

Le iscrizioni agli appelli si effettuano su AlmaEsami [https://almaesami.unibo.it/almaesami/welcome.htm] .
Presentarsi alle prove con il tesserino universitario e un documento d'identità provvisto di foto.

NOTA IMPORTANTE: Ogni studente che trovi errori nella correzione delle sue prove d'esame (per esempio dovuti a refusi di cui non mi sia reso conto) è invitato a evidenziarli in sede di consegna degli elaborati corretti. Se l'errore è effettivamente presente e influisce sul voto attribuito alla prova d'esame dello studente, questo verrà incrementato di conseguenza (senza diminuzione dei voti ottenuti dagli altri studenti). Tale incremento verrà attribuito solo su richiesta dello studente interessato.

Si veda anche la pagina web http://www.dm.unibo.it/~frosini/modalitaesame2020.shtml

Strumenti a supporto della didattica

Materiale didattico: del materiale didattico verrà messo a disposizione dello studente sulla pagina web del docente ( http://www.dm.unibo.it/~frosini/ ).

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~frosini/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Patrizio Frosini