27213 - ANALISI MATEMATICA 2

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo studente acquisisce conoscenze matematiche di carattere più informativo, utilizzando un'ampia strumentazione di base per affrontare la descrizione di fenomeni fisici diversi. In particolare, al termine del corso, lo studente è in grado di: risolvere problemi di massimo o minimo vincolati; calcolare semplici integrali di funzioni in piu' variabili; calcolare semplici integrali di funzioni definite su superfici. In particolare, al termine del corso, lo studente è in grado di: - risolvere problemi di massimo o minimo vincolati; - studiare la convergenza di integrali in piu' variabili; - calcolare integrali superficiali.

Contenuti

• Spazi metrici, spazi normati, spazi con prodotto interno. Elelemtni di topologia negli spazi metrici. Spazi metrici completi. Introduzione agli spazi di Banach e di Hilbert. Il Teorema delle contrazioni.
• Calcolo differenziale per funzioni in più variabili:
  • Funzioni da R^n in R^m. Limiti e continuità. Teorema di Bolzano. Teorema di Weierstrass.
  • Funzioni in più variabili a valori reali Derivate parziali e derivate direzionali per funzioni in più variabili a valori reali. Differenziale. Gradiente e sue proprietà. Derivate di ordine superiore. Hessiano. Lemma di Schwarz. Formula di Taylor al secondo ordine. Piano tangente.
  • Calcolo differenziale per funzioni in più variabili a valori vettoriali. Jacobiano. Composizione di funzioni: teorema dello Jacobiano della funzione composta.
• Applicazioni del calcolo differenziale:
  • Massimi e minimi relativi liberi. Teorema di Fermat. Richiami su forme quadratiche associate a matrici simmetriche e la loro classificazione. Teorema di Sylvester. Classificazione dei punti critici: condizioni necessarie o sufficienti per funzioni C^2.
  • Varietà regolari in forma implicita Spazio normale e spazio tangente. Teorema del Dini e parametrizzazione locale di una varietà. Massimi e minimi vincolati. Teorema di Fermat per estremanti condizionati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
• Misura e integrazione per funzioni in più variabili Misura di Peano-Jordan. Integrale di Riemann per funzioni da R^n in R. Proprietà dell'integrale: additività, monotonia, linearità. Teorema della media. Teoremi di riduzione degli integrali doppi e tripli in domini normali. Principio di Cavalieri. Teorema di Cavalieri. Cambiamento di variabile per l'integrale multiplo. Coordinate polari, sferiche, cilindriche.
  
• Curve in forma parametrica ed integrali curvilinei: curve regolari e regolari a tratti, orientamento. Integrali curvilinei su curve non orientate (lunghezza, massa, baricentro, momenti di inerzia di un filo), Forme differenziali e campi vettoriali. Integrale curvilineo di una forma differenziale e lavoro. Forme differenziali esatte e campi vettoriali conservativi. Forme differenziali chiuse e campi vettoriali irrotazionali. Potenziale di un campo vettoriale. Lemma di Poincarè.
• Superfici in forma parametrica ed integrali di superficie Superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Orientamento. Area di una superficie e integrali di funzioni scalari su superfici non orientate (massa, baricentro, momenti di inerzia). Superfici regolari con bordo. Orientamento canonicamente indotto sul bordo. Superfici regolari a tratti. Teorema di Stokes o del rotore. Teorema della divergenza o di Gauss.
• Introduzione alla teoria della misura e dell'integrazione Spazio di misura, costruzione della misura di Lebesgue e sue proprietà, funzioni semplici, funzioni misurabili, integrale di Lebesgue e sue proprietà, Teorema di Fubini, teoremi della convergenza monotona e della convergenza dominata. Definizione di spazio  L^p, ess sup, disuguaglianza di Minkowski, disuguaglianza di Hoelder, completezza degli spazi L^p (teorema di Riesz-Fischer), confronto fra convergenza puntuale e nella norma L^p.

Testi/Bibliografia

Simonetta Abenda : Analisi Matematica (Esculapio)
Simonetta Abenda: Esercizi di Analisi Matematica (Esculapio)

Saranno fornite dispense per gli argomenti svolti a lezioni e non presenti nel libro di testo.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame si svolge in forma scritta. La prova d’esame consiste in esercizi e domande di teoria relativi al programma svolto.

Le due parti dell'esame si svolgono nello stesso giorno.

Le date degli appelli sono pubblicate su Almaesami e sul sito del corso di studi.

Gli studenti possono presentarsi a tutti gli appelli.

E’ possibile rifiutare il voto solo una volta.

Se lo studente non si presenta all'esame o si ritira durante la prova (in questo secondo caso il suo elaborato non verrà corretto), su Almaesami verrà inserito "ritirato" in sede di verbalizzazione e tale formulazione ovviamente non conta come rifiuto del voto.

Per partecipare all’esame è obbligatoria l’iscrizione su Almaesami. L'esame si svolge on-line.

E' possibile svolgere l'esame in presenza in casi eccezionali (esempio DSA, mancanza connessione internet, ecc.). In tal caso è necessario contattare la docente via mail.

Lo studente che decide di non presentarsi il giorno dell’esame è pregato di cancellarsi dalla lista e comunicare via mail tale decisione in modo da non ritardare l’inizio della prova stessa.

Esami in presenza: è proibito l'uso di qualunque dispositivo elettronico collegato alla rete internet durante la prova d'esame pena l'annullamento della prova d'esame stessa. E’ vietato l’uso di calcolatrici grafiche e programmabili.

Esami on line: per i dettagli si rimanda al regolamento pubblicato su Virtuale. L’esame si svolge sulla piattaforma EOL+ZOOM

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Parte 1 (durata 2 h): Gli esercizi sono formulati come quiz a risposta multipla. Lo studente allega la soluzione sui fogli protocollo forniti dalla Commissione (esami in presenza) o sotto forma di file pdf allegato al quiz su EOL (esame on-line). Lo studente può consultare i propri libri di testo e gli appunti e può utilizzare una calcolatrice non programmabile.

La prova consiste in 5 esercizi a risposta multipla.

Ciascun esercizio a risposta multipla vale: +2 (risposta corretta), 0 (risposta non data) -0.5 (risposta errata)

La soluzione dettagliata del singolo esercizio vale da

-1 (risposta quiz data e soluzione non allegata, file illeggibile) a +3 (svolgimento completo e corretto)

Parte 2 (durata 40 m): Consiste in due quesiti di teoria relativi al programma svolto corredati di una traccia con l’elenco di massima delle definizioni e teoremi relativi a ciascun argomento. Durante questa parte della prova lo studente non può consultare alcun libro di testo né i propri appunti.

Ciascun quesito vale da: -3 (risposta non data o fuori tema, file illeggibile) a +7 (risposta esauriente e ben motivata)

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Voto e verbalizzazione: Il voto finale è dato dalla somma algebrica dei punteggi ottenuti nelle parti della prova. I punteggi superiori a 30/30 saranno registrati come 30/30 e lode su Almaesami.

Al termine della correzione delle prove scritte, viene fissato un apposito ricevimento studenti per la visione dei compiti e, al termine di tale ricevimento, la Commissione procede a verbalizzare tutti i voti validi.

I testi tipo di alcune prove d'esame sono distribuiti e lezione e pubblicati su IOL.

Strumenti a supporto della didattica

Nel caso le lezioni si svolgano in modalità mista, saranno rese disponibili sulla piattaforma IOL gli screen-shot delle lezioni e le eventuali registrazioni delle stesse. Questi strumenti sono di ausilio e non sostituiscono il lavoro attivo di ciascun studente nel seguire le lezioni e prepararsi all'esame in autonomia.

Si incoraggia gli studenti a prendere appunti mentre seguono le lezioni, a rivederli e studiarli di volta in volta, a integrarli confrontandoli con libri di testo, a svolgere esercizi in autonomia.

Gli studenti sono fortemente incoraggiati a porre domande alla docente durante le lezioni oltre che nei ricevimenti studenti. Infatti il principale supporto alla didattica è la partecipazione attiva alle lezioni da parte degli studenti sia che queste si svolgano in presenza che on-line.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Simonetta Abenda