28357 - ALGEBRA 1

Anno Accademico 2020/2021

  • Docente: Fabrizio Caselli
  • Crediti formativi: 8
  • SSD: MAT/02
  • Lingua di insegnamento: Italiano
  • Moduli: Fabrizio Caselli (Modulo 1) Luca Moci (Modulo 2)
  • Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza (Modulo 1) Convenzionale - Lezioni in presenza (Modulo 2)
  • Campus: Bologna
  • Corso: Laurea in Matematica (cod. 8010)

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente ha acquisito alcune conoscenze di base dell'algebra: in particolare ha conosciuto la definizione rigorosa degli insiemi dei numeri naturali, interi e razionali e ha affrontato lo studio di strutture algebriche utili quali insiemi parzialmente ordinati, reticoli e gruppi. Lo studente sa avvalersi di tali consoscenze per acquisire padronanza del linguaggio e del ragionamento matematico.

Contenuti

Richiami sugli insiemi: appartenenza, inclusione, unione, intersezione, complemento, differenza. Insieme delle parti. Leggi di De Morgan. Prodotto cartesiano. Relazioni. Funzioni.

Proprietà delle relazioni in AxA: riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva. Funzioni: definizione, terminologia. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Elementi di base di teoria della cardinalità. 

Assiomi di Peano. Principio di induzione. Elementi di base di combinatoria enumerativa.  

Partizioni e relazioni di equivalenza. Insieme quoziente. Esempio: la congruenza modulo n.

Costruzione dei numeri interi e dei numeri razionali come classi di equivalenza. 

Relazioni d'ordine e insiemi parzialmente ordinati.   

Divisibilità tra interi: lemma di divisione. Massimo comun divisore. Algoritmo di Euclide. Teorema di Bézout. Numeri primi. Teorema: i numeri primi sono infiniti.

Teorema fondamentale dell'aritmetica.

Definizione di gruppo. Gruppo abeliano. Esempi: il gruppo generale lineare e il gruppo simmetrico. Legge di cancellazione. Tavola di moltiplicazione.

Esempi di gruppo: le classi resto modulo n rispetto alla somma. Il gruppo delle classi resto invertibili. Il campo delle classi resto modulo p. Costruzioni di campi finiti per estensione di un campo noto.

Sottogruppo: definizioni equivalenti. Esempi: i sottogruppi di (Z,+). Il gruppo delle matrici triangolari superiori invertibili. Il gruppo di Heisenberg.

Gruppi e sottogruppi ciclici. Ordine di un elemento.

Omomorfismi di gruppi. Isomorfismi. Endomorfismi. Automorfismi. Automorfismi interni.

I gruppi diedrali

Il gruppo simmetrico: isomorfismo con il gruppo delle matrici di permutazione. Segno di una permutazione. Ciclo. Scomposizione di una permutazione come prodotto di cicli disgiunti. Ordine e segno di un ciclo e di una permutazione scomposta in cicli. Il gruppo alterno.

Classi laterali rispetto ad un sottogruppo (destre e sinistre). Teorema: ogni classe laterale relativa al sottogruppo H è in corrispondenza biunivoca con H. Indice di un sottogruppo. Teorema di Lagrange e sue conseguenze. Sottogruppi normali.

Quoziente di un gruppo rispetto ad un sottogruppo normale. Nucleo e immagine di un omomorfismo e loro proprietà.

Un omomorfismo di gruppi è iniettivo se e solo se il suo nucleo contiene il solo elemento neutro. Quoziente di un gruppo rispetto al nucleo di un omomorfismo. Primo teorema di isomorfismo. Intersezione di due sottogruppi.

Azioni di gruppi su insiemi. Orbite e stabilizzatori. I teoremi di Sylow.

Il gruppo libero. Presentazione di un gruppo per generatori e relazioni.

 

Testi/Bibliografia

G. M. Piacentini Cattaneo: ALGEBRA, un approccio algoritmico,

Zanichelli, 1996

I.N. Herstein: Algebra. Editori riuniti, 2010.

M.Artin: Algebra. Bollati Boringhieri 1997.

S. Lang: Undegraduate Algebra, Springer-Verlag, 1987

 

Metodi didattici

Lezioni frontali in presenza con possibilità per chi ne avesse necessità di seguire le lezioni online. Almeno due ore la settimana sono dedicate alla risoluzione alla lavagna da parte (del docente o) degli studenti di esercizi assegnati durante la lezione precedente.

E' stato proposto di sdoppiare il corso in modo da poter permettere a tutti gli studenti di poter seguire in presenza le lezioni.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame ha lo scopo di verificare il raggiungimento dei seguenti obiettivi: conoscenza approfondita degli strumenti di algebra presentati durante il corso; capacità di utilizzare gli strumenti forniti per risolvere un problema di algebra di base.

La prova d'esame è costituita da un prova scritta e da una prova orale. Per partecipare a ciascuna prova è necessaria l'iscrizione al relativo appello sul sito AlmaEsami.

La prova scritta prevede la risoluzione di esercizi e di problemi  e mira a valutare la capacità dello studente di saper applicare gli strumenti teorici forniti. Durante la prova scritta non è ammesso l'uso di libri o appunti, ma solo l'utilizzo di una calcolatrice. La valutazione dello scritto è in trentesimi e prevede una votazione minima di 15/30 per essere ammessi alla prova orale. I risultati vengono inseriti sul sito AlmaEsami.

La prova orale verte a verificare la conoscenza teorica della materia. In occasione della prova orale viene sempre effettuata la correzione alla lavagna e la discussione della prova scritta. La valutazione finale terrà conto delle due prove nel loro complesso e la relativa verbalizzazione viene effettuata al termine della prova orale.

Sono previsti sei appelli nell'arco dell'anno accademico: tre nella sessione invernale Gennaio-Febbraio, due nella sessione estiva Giugno-Luglio e una nella sessione autunnale di Settembre. Le loro date esatte saranno disponibili sul sito AlmaEsami con ampio anticipo.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Fabrizio Caselli

Consulta il sito web di Luca Moci