75602 - ANALISI NUMERICA E MODELLAZIONE GEOMETRICA T

Anno Accademico 2020/2021

  • Moduli: Carolina Vittoria Beccari (Modulo 1) Francesco Regonati (Modulo 2)
  • Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza (Modulo 1) Convenzionale - Lezioni in presenza (Modulo 2)
  • Campus: Bologna
  • Corso: Laurea in Design del prodotto industriale (cod. 8182)

Conoscenze e abilità da conseguire

Il corso si propone come obiettivo l'apprendimento dei fondamenti teorici, degli aspetti numerico-matematici e delle principali metodologie per la rappresentazione e manipolazione matematica di forme. Il percorso formativo prevede di fornire una base di algebra lineare numerica e un'introduzione alla geometria differenziale delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo bi/tridimensionale. Gli strumenti introdotti saranno applicati alla modellazione geometrica di curve, superfici e solidi, cuore dei sistemi di progettazione al calcolatore. Il corso prevede un'attivita' di laboratorio in cui si utilizzera' il software POVRAY.

Contenuti

PARIMA PARTE (4 CFU) (modulo 2)

1- Vettori geometrici ed operazioni su di essi; spazi vettoriali.

Spazi vettoriali geometrici V^n (n=1,2,3). Spazi vettoriali; vettori linearmente indipendenti, basi e dimensione; coordinate di un vettore rispetto ad una base. Spazi vettoriali numerici R^n (n=1,2,3,...). Identificazione di V^n con R^n secondo una base (n=1,2,3). Lunghezza di un vettore, coseno dell'angolo fra due vettori; prodotto scalare di due vettori; terne destrorse e sinistrorse, prodotto vettoriale di due vettori.

2- Piano e spazio euclidei, geometria analitica lineare.

Spazi euclidei E^n e spazi vettoriali geometrici V^n (n=1,2,3). Equazioni parametriche della retta per un punto con un vettore direttore e del piano per un punto due vettori giacitura. Equazione cartesiana della retta in E^2 e del piano in E^3 per un punto ortogonali ad un vettore. Sistemi di riferimento e identificazione di E^n e V^n con R^n (n=1,2,3). Prodotto scalare e prodotto vettoriale in coordinate. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani in R^n (n=2,3); condizioni di parallelismo. In R^3, posizioni reciproche piano-piano, piano-retta, retta-retta; rette sghembe. Equazioni normali di rette e piani. Distanze fra punti, rette e piani; angolo fra due semirette.

3- Sistemi lineari, algebra delle matrici, applicazioni lineari.

Sommatorie; equazioni lineari. Sistemi lineari di m equazioni in n incognite. Matrici; prodotto di matrici. Scrittura matriciale Ax=b di un sistema lineare. Matrici invertibili e matrice inversa. Determinante matrici 2x2 e 3x3, aree e volumi con segno; determinante di matrici nxn. Sistemi quadrati Ax=b, esistenza e unicità della soluzione e invertibilità di A, soluzione x=(A^-1)b. Applicazioni lineari R^n -> R^m e loro rappresentazione x -> Ax con matrici A mxn; composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici. Biiettività e inversione di applicazioni lineari di R^n in sè, determinante e inversione di matrici nxn.

4- Applicazioni lineari e applicazioni lineari affini del piano e dello spazio.

Applicazioni lineari di V^n in sé, identificazione con applicazioni di R^n in sé e con matrici nxn rispetto ad una base (n=2,3); significato geometrico del determinante. Rotazioni, proiezioni ortogonali, riflessioni, scaling, shear; loro matrici rispetto a basi opportune e qualsiasi. Applicazioni lineari affini di E^n in sé e loro identificazione con applicazioni di R^n in sé secondo un sistema di riferimento (n=2,3).

5- Calcolo differenziale ed integrale di funzioni reali di una variabile reale (richiami).

Funzioni reali di una variabile reale e loro grafici; spazi vettoriali di funzioni. Funzioni lineari affini, quadratiche, polinomiali, razionali, trigonometriche, esponenziale e logaritmo. Continuità e sue implicazioni. Derivata di una funzione in un punto e suo significato geometrico. Regole di derivazione. Integrale di Riemann di una funzione e suo significato geometrico. Primitive di una funzione su un intervallo. Teorema fondamentale del calcolo.

 

SECONDA PARTE (5 CFU) (modulo 1)

1- Elementi di geometria differenziale.

Curve 2D in forma parametrica, parametrizzazione. Derivata di una curva parametrica, curva regolare, lunghezza di una curva, vettore tangente e curvatura, vettore normale, continuita' geometrica e parametrica. Esempi di curve. Curve 3D in forma parametrica, curvatura e torsione. Frenet frame.

Superfici in forma parametrica regolari, piano tangente, vettore normale, curvature principali , curvatura media e curvatura Gaussiana. Generazione di superfici per trasformazione di curve parametriche.

2- Rappresentazione e modellazione geometrica di curve e superfici.

2.1- Curve di Bézier.

Funzioni polinomiali nella base di Bernstein. Curve di Bézier e loro proprietà. Composizione di curve di Bézier. Curve di Bézier razionali. Coniche come razionali quadratiche.

2.2- Curve spline.

Spline polinomiali. Curve spline. Spline razionali (NURBS).

2.3- Superfici.

Superfici di Bézier, superfici spline, superfici NURBS, e NURBS trimmate. Costruzione di superfici NURBS generate da curve: skinning, estrusione, rigate, sweeping.

3- Interpolazione polinomiale e con curve parametriche.

Interpolazione polinomiale e spline. Problema di interpolazione di Lagrange ed Hermite. Costruzione di una polinomiale a tratti cubici di Bézier con continuità C^1.

 

Testi/Bibliografia

Per la parte A il riferimento principale sono gli appunti ed esercizi del docente, pubblicati settimanalmente durante il coso su IOL.

Per approfondimenti si consigliano i testi: S. Abeasis, Geometria analitica del piano e dello spazio, Zanichelli; G. Farin and D. Hansford, Practical linear algebra - a geometry toolbox, CRC Press

Per la parte B il riferimento è la dispensa del corso che verrà messa a disposizione ad inizio lezioni (scaricabile dalla piattaforma IOL).

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni in laboratorio informatico. Le esercitazioni affiancano la parte teorica per stimolarne la comprensione. Per le esercitazioni verrà utilizzato il software Matlab. 

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Per superare l'esame bisogna superare l'esame sulle singole parti; il voto d'esame è la media pesata dei voti delle singole parti.

PRIMA PARTE:

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta finale che consiste di esercizi e quesiti sul modello di quelli dati durante il corso. Su richiesta del docente o dello studente, la prova scritta potrà essere seguita da una prova orale. Per superare l'esame occorre un punteggio minimo pari a 18.

SECONDA PARTE:

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta finale da svolgersi in laboratorio che consiste di esercizi sul modello di quelli visti a lezione e 3 domande di teoria. Per superare l'esame occorre un punteggio minimo pari a 18, ottenuto sommando i punteggi relativi agli esercizi (o alle singole risposte) corretti.

Strumenti a supporto della didattica

Dispense, lucidi, esercizi.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Carolina Vittoria Beccari

Consulta il sito web di Francesco Regonati

SDGs

Istruzione di qualità Partnership per gli obiettivi

L'insegnamento contribuisce al perseguimento degli Obiettivi di Sviluppo Sostenibile dell'Agenda 2030 dell'ONU.