27991 - ANALISI MATEMATICA T-1

Anno Accademico 2019/2020

  • Docente: Simonetta Abenda
  • Crediti formativi: 9
  • SSD: MAT/05
  • Lingua di insegnamento: Italiano
  • Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza
  • Campus: Bologna
  • Corso: Laurea in Ingegneria informatica (cod. 9254)

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscenza degli strumenti matematici di base (limiti, derivate, integrali) per l'analisi qualitativa delle funzioni e la risoluzione di problemi applicativi.

Contenuti

  • Premesse:
  1. N,Z,Q,R, relazioni di ordine: minimo e massimo, estremi superiore e inferiore di un sottoinsieme di R. Densità di Q in R.
  2. Dominio e condominio di una funzione, funzioni, grafico, iniettività, suriettività, immagine, controimmagine, funzione inversa, funzione composta. 
  3. Funzioni elementari (funzione ad esponente intero, radice n-ma, esponenziale, logaritmo, funzioni circolari ed inverse, funzioni iperboliche, funzione valore assoluto).
  • Numeri complessi Il campo dei numeri complessi, forma algebrica, modulo e argomento, forma trigonometrica, radici(*), equazioni algebriche in campo complesso.
  • Limiti
  1. Intorni, punti di accumulazione.
  2. Limiti finiti e infiniti di funzioni di variabile reale a valori reali, limite destro e sinistro.
  3. Proprietà del limite: unicità, località, locale limitatezza; proprietà algebriche del limite e teorema del confronto. Limiti di funzioni monotone.
  4. Forme indeterminate: infiniti e infinitesimi. Simboli di Landau.
  5. Limiti notevoli (*).
  • Continuità
  1. Funzioni continue di variabile reale a valori in R. Continuità della funzione composta. Permanenza del segno.
  2. Proprietà delle funzioni continue definite su intervalli: teorema di Weierstrass, teorema di Bolzano, teorema degli zeri (*), teorema su invertibilità e monotonia, teorema di continuità della funzione inversa.
  • Derivazione e applicazioni
  1. Interpretazione geometrica e meccanica della derivata, derivate di ordine superiore, derivate delle funzioni elementari.
  2. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni(*), regola di Leibniz(*), derivata della funzione reciproca(*), derivata della funzione inversa(*), derivata della funzione composta.
  3. Proprietà delle funzioni derivabili su intervalli: teorema di Rolle(*), teorema di Lagrange, funzioni a derivata nulla e funzioni costanti(*), primitiva, teorema su monotonia e segno della derivata(*). Teorema di de l'Hopital per forme indeterminate.
  4. Funzioni convesse: definizione e interpretazione geometrica, teorema su convessità e monotonia della derivata prima, teorema su convessità e segno della derivata seconda.
  5. Approssimazione delle funzioni regolari con la formula di Taylor. Polinomio di Taylor, unicità del polinomio di grado minore o uguale a n che approssima una funzione all'ordine n(*), formula di Taylor con il resto di Peano (dimostrazione nei casi n=1 e n=2), proprietà delle derivate del polinomio di Taylor; formula di Taylor con il resto di Lagrange, formula di Taylor delle funzioni elementari: exp(x) (*), cos(x) (*), sin(x) (*), cosh(x)(*),senh(x)(*), (1+x)^a(*), 1/(1-x) (*), 1/(1+x)(*), 1/(1-x^2)(*), 1/(1+x^2)*, log(1+x) (*), applicazione ai limiti di forme indeterminate.
  6. Analisi qualitativa delle funzioni. Asintoti: verticale, orizzontale, obliquo; punti singolari di prima e seconda specie, punti angolosi, cuspidi, punti estremanti locali, punti stazionari, i punti estremanti interni sono stazionari(*), condizioni sufficienti (mediante le derivate) perché un punto sia estremante locale(*), punti di flesso: definizione e interpretazione geometrica, condizioni necessarie e condizioni sufficienti (mediante le derivate) perchè un punto sia di flesso.
  • Integrazione e applicazioni
  1. Definizione di integrale di Riemann per funzioni limitate definite su intervalli limitati e chiusi. Proprietà dell'integrale: linearità, monotonia, additività.
  2. Classificazione delle funzioni integrabili secondo Riemann su intervalli limitati e chiusi (funzioni continue tranne un numero finito di punti; funzioni monotone). La funzione di Dirichlet. Teorema della media integrale(*).
  3. Funzione integrale e funzione primitiva. Il teorema fondamentale del calcolo integrale per le funzioni continue(*). Regola di Torricelli(*). Teorema di integrazione per parti (*) e teorema di integrazione per sostituzione(*).
  4. Integrazione delle funzioni razionali.
  5. Integrale di Riemann generalizzato. Criterio del confronto per la convergenza dell'integrale generalizzato di una funzione positiva. Sommabilità di 1/x^a(*).
  • Equazioni differenziali
  1. Introduzione, problema di Cauchy e principio di causalità.
  2. Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti continui di ordine n: esistenza e regolarità globali delle soluzioni, principio di sovrapposizione delle soluzioni (*), caratterizzazione dell'insieme delle soluzioni come spazio vettoriale, teorema del Wronskiano (con dimostrazione nel caso n=2). Integrale generale di un'equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti.
  3. Equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti e termine noto continui: esistenza e regolarità globali, integrale generale. Integrale generale e risoluzione del problema di Cauchy per le equazioni differenziali lineari del I ordine: y'=a(t)y+b(t). Metodi per la ricerca dell'integrale particolare di un'equazione differenziale lineare non omogenea: metodo per simpatia (lineare omogenea a cofficienti costanti, termine noto del tipo exp(at), t^k, cos(bt), sin(ct)) e metodo di variazione delle costanti (caso n=2(*)).
  4. Equazioni differenziali a variabili separabili: risoluzione del problema di Cauchy.

Testi/Bibliografia

Simonetta Abenda : Analisi Matematica (Esculapio)
Simonetta Abenda: Esercizi di Analisi Matematica (Esculapio)

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

 L'esame si svolge in forma scritta e consta di due parti da sostenere nello stesso appello.

Nella prima parte lo studente risolve esercizi a risposta multipla e guidata.

Nella seconda parte svolge per esteso uno degli esercizi a risposta multipla del proprio compito e risponde a due quesiti di teoria.

Il punteggio finale è la somma algebrica dei punteggi ottenuti nelle due parti e viene pubblicato su Almaesami.

I punteggi dei singoli esercizi e le soglie di ammissione sono pubblicate anche sulla mia pagina web docente.
Gli studenti possono presentarsi a tutti gli appelli. E' possibile rifiutare il voto una sola volta.

Le date degli esami sono pubblicate su Almaesami.

E' obbligatoria l'iscrizione su Almaesami ad entrambe le parti dell'esame.

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Informazioni dettagliate sulla modalità dell'esame (versione modificata causa svolgimento dell'esame in modalità on-line) sono pubblicate sulla pagina IOL del corso. Si riportano di seguito solo alcune informazioni. Lo studente deve leggere il file pdf con tutte le istruzioni prima di presentarsi all'esame.

Gli studenti in difficoltà a sostenere l’esame nella modalità a distanza, sia per motivi di natura personale che tecnologica, sono pregati di contattarmi via mail il prima possibile e comunque con debito anticipo e prima di iscriversi alla prova d'esame

Gli studenti iscritti ad un appello su Almaesami riceveranno informazioni dettagliate via mail prima della prova


Parte A (durata 2 ore 30 minuti):L'esame si svolge sulla piattaforma EOL-ZOOM.

Lo studente deve avere la telecamera e il microfono accesi e deve obbligatoriamente condividere il desktop durante l'intero svolgimento della prova d'esame. La telecamera deve inquadrare il piano di lavoro e lo studente durante tutta la prova d'esame.

Il cellulare va tenuto chiuso e ben visibile durante tutta la prova.

L'uso del cellulare è consentito esclusivamente al momento in cui si fotografano le parti da allegare in formato pdf.

La prova si svolge sotto forma di quiz. Consiste in 6 esercizi a risposta multipla (limite, integrale generalizzato, 2 quesiti sullo studio del grafico, problema di Cauchy per equazione differenziale del I ordine, integrale generale di un'equazione differenziale lineare non omogenea di ordine superiore al primo).

Durante la parte A, lo studente può consultare i propri libri di testo e gli appunti e può utilizzare una calcolatrice non programmabile. 

Il punteggio massimo di questa prova è 12. Lo studente che raggiunge la soglia di ammissione (indicativamente 5/12) è ammesso alla parte B.

Gli esercizi a risposta multipla valgono: +2 (risposta corretta), 0 (risposta non data) -0.5 (risposta errata)

 Lo studente inoltre deve allegare al quiz le soluzioni degli esercizi svolti del proprio test INCLUSO IL GRAFICO come file .pdf. Questa parte sostituisce lo svolgimento completo di un esercizio nella parte B nonché l'esercizio 7 della prova in presenza. La valutazione va da -3 (file non allegato, illeggibile o calcoli inconcludenti) a +9 (svolgimento completo e logicamente ben costruito) e concorre alla valutazione della parte B per gli studenti ammessi. 

 

Parte B (durata 40 minuti). L'esame si svolge sulla piattaforma EOL-ZOOM.

Lo studente deve avere la telecamera e il microfono accesi e deve obbligatoriamente condividere il desktop durante l'intero svolgimento della prova d'esame. La telecamera deve inquadrare il piano di lavoro e lo studente durante tutta la prova d'esame.

Il cellulare va tenuto chiuso e ben visibile durante tutta la prova.

L'uso del cellulare è consentito esclusivamente al momento in cui si fotografano le parti da allegare in formato pdf.

E' proibito consultare testi o usare appunti durante questa parte dell'esame. Sul piano di lavoro possono esserci solo i fogli bianchi, penne, il cellulare chiuso.

La prova consiste in due quesiti teorici di cui viene fornita la traccia. Lo studente allega un file pdf per ciascun quesito.

Ogni quesito vale da -3 (risposta non data o fuori tema) a 7.

Il voto di questa parte è dato dalla valutazione dello svolgimento degli esercizi (file pdf allegato alla parte A) e dei due quesiti teorici.

Voto e verbalizzazione: Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi ottenuti nelle due prove. I punteggi superiori a 30/30 saranno registrati come 30/30 e lode su Almaesami.

Al termine della correzione delle prove scritte, viene fissato un apposito ricevimento studenti per la visione dei compiti e, al termine di tale ricevimento, la Commissione procede a verbalizzare tutti i voti validi.

Per rifiutare il voto è necessario partecipare alla visione compiti e comunicarlo verbalmente il giorno stesso della visione compiti.

Calendario delle prove d'esame: è pubblicato su Almaesami e visibile alla pagina web del Corso di Studi dedicata agli appelli d'esame.

Ulteriori informazioni sulle prove d'esame sono disponibili nel sito web docente: http://www.unibo.it/docenti/simonetta.abenda

I testi tipo di alcune prove d'esame parte A sono distribuiti e lezione e pubblicati negli spazi virtuali del corso.

 

Informazioni importanti per lo svolgimento della prova on-line:

- Prima della prova predisporre un numero adeguato di fogli bianchi su cui va scritto nome, cognome, numero di matricola e lasciato uno spazio dove appoggiare il badge al momento di scannerizzare il file.

- Ricordarsi di numerare i fogli man mano che si utilizzano! Scrivere a penna in modo chiaro e comprensibile. Nella soluzione degli esercizi inserire tutti i passaggi, motivare le risposte.

- Nel caso si interrompa il collegamento della rete durante la prova dell'esame inviare via mail immediatamente (e comunque entro il termine della prova) la foto dello svolgimento degli esercizi/risposte ai quesiti di teoria usando esclusivamente l'indirizzo nome.cognome@studio.unibo.it alla docente. 

- Nel caso la telecamera, il microfono o la condivisione del desktop si interrompano per qualunque motivo prima del termine della prova, l'esame dello studente viene annullato e lo studente potrà sostenere l'esame in un appello successivo.

 

Strumenti a supporto della didattica

I testi di alcune prove d'esame della parte A sono disponibilisulla piattaforma digitale del corso

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Simonetta Abenda