87294 - ANALISI MATEMATICA T-B

Conoscenze e abilità da conseguire

Aspetti metodologico-operativi dell'analisi matematica, con particolare riguardo alle funzioni di più variabili reali e alle equazioni differenziali, al fine di saper interpretare e descrivere i problemi dell'ingegneria.

Contenuti

Affinamento e arricchimento degli strumenti matematici di base (calcolo differenziale multi-variato, serie numeriche, curve e superfici, vari tipi di integrale: multiplo, curvilineo e di superficie) per la risoluzione di tipici problemi applicativi.

--Programma/Contenuti

Calcolo differenziale per funzioni in più variabili:

Introduzione: Elementi di topologia in R^n, prodotto scalare e norma. Funzioni da R^n in R^m. Limiti e continuità. Teorema di Bolzano. Teorema di Weierstrass.

Funzioni di più variabili a valori reali: Derivate direzionali, parziali e differenziabilità per funzioni di più variabili a valori reali o vettoriali. Gradiente e sue proprietà. Derivate di ordine superiore. Matrice Jacobiana e Hessiana. Lemma di Schwarz. Formula di Taylor al secondo ordine. Piano tangente. Matrice Jacobiana della composizione di funzioni.

Applicazioni del calcolo differenziale:

Massimi e minimi relativi liberi. Teorema di Fermat. Richiami su forme quadratiche associate a matrici simmetriche e la loro classificazione. Classificazione dei punti critici: condizioni necessarie e/o sufficienti per funzioni C^2.

Misura e integrazione per funzioni in più variabili:

Misura di Peano-Jordan. Integrale di Riemann per funzioni da R^n (n=2,3) in R. Proprietà dell'integrale: additività, monotonia, linearità. Teoremi di riduzione degli integrali doppi e tripli in domini semplici. Cambiamento di variabile per l'integrale multiplo. Coordinate polari, sferiche, cilindriche.

Serie e successioni numeriche:

Generalità sulle successioni e le serie numeriche: definizioni, criteri di convergenza: rapporto, confronto, serie a segno alternante. Serie a termini positivi e assoluta convergenza.

Curve in forma parametrica ed integrali curvilinei:

Curve regolari: Curve regolari e regolari a tratti. Orientamento e curve orientate. Integrali curvilinei di I e II specie su curve orientate. Applicazoini allo studio dei campi di vettori: campi esatti (e loro potenziali), conservativi e chiusi. Il Teorema di Poincaré. Formule per un potenziale.

Superfici regolari: Cenni di integrazione di superficie (misura di una superficie e flusso di un campo attraverso una superficie);  Teorema di Gauss-Green in R^2, della Divergenza (in R^2 e R^3) e di Stokes.

Testi/Bibliografia

G.C.Barozzi, G.Dore, E.Obrecht: Elementi di Analisi Matematica, vol. 2, Zanichelli 2015.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali. Assegnazione di esercizi tramite upload di fogli di esercizi sul sito di Ateneo "IOL- Inseganmenti Online."

--Per le esercitazioni:

si vedano i fogli di esercizi pubblicati sul sito web IOL relativo al Corso; se lo studente risolve con cura gli esercizi presentati dal docente sui fogli pubblicati, non avrà bisogno di ulteriori testi.

--Per la teoria:

è sufficiente che lo studente segua regolarmente TUTTE le lezioni frontali in aula e che studi la teoria sugli appunti presi a lezione. Un foglio di esercizi pubblicato sul IOL fornirà allo studente l'elenco COMPLETO delle domande teoriche richieste per l'esame orale.

Si consiglia vivamente agli studenti non frequentanti di procurarsi gli appunti di lezione presi da qualche studente regolarmente frequentante. Questo permetterà allo studente non frequentante di risparmiare tempo e fatica nel preparare gli esami scritto e orale. Ovviamente, è un diritto dello studente non frequentante di preparare l'esame anche mediante l'uso del testo consigliato (e del materiale pubblicato su IOL per gli esercizi).

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale.

NON saranno previste prove intermedie.

--Esame scritto:
Durata: 3 ore.

--Esame orale:
Da sostenere OBBLIGATORIAMENTE nella stessa sessione in cui si è sostenuto lo scritto (eventualmente in un appello diverso da quello dello scritto).
Verranno assegnate tre domande (solitamente personalizzate per ciascuno studente) di Teoria, a cui lo studente risponderà per iscritto al momento dell'orale; tali domande verranno immediatamente corrette e verranno eventualmente fatte una o più domande ulteriori allo studente, a cui lo studente dovrà rispondere sempre per iscritto.

Note: Lo studente con voto insufficiente allo scritto NON può sostenere l'orale (i punteggi per la sufficienza saranno segnalati nel testo dello scritto).
L'insufficienza ad uno scritto NON pregiudica la partecipazione agli scritti successivi. È prevista un'ammissione all'orale "con riserva" (i punteggi per l'ammissione con riserva saranno segnalati nel testo dello scritto).

Si può sostenere l'esame orale SOLO all'interno della stessa sessione dello scritto, anche in un appello differente da quello in cui si è superato lo scritto.

NOTA BENE: Chi risulta insufficiente all'orale DEVE RIFARE ANCHE LO SCRITTO.

Voto finale: Il voto finale tiene conto sia dello scritto sia dell'orale.

Numero di esami: Tre appelli in giugno/luglio. Un appello a settembre (lo scritto sufficiente a giugno/luglio NON rimane valido anche a settembre); due appelli a gennaio/febbraio.

Iscrizione agli esami: Lo studente dovrà iscriversi sia all'esame scritto sia all'esame orale attraverso il sito di Alma Esami.
Chi non si iscrive alle prove scritte/orali NON può sostenere l'esame.
Attenzione: l'iscrizione chiude normalmente svariati giorni prima della prova! Iscriversi per tempo!!

Strumenti a supporto della didattica

Materiale online (per la preparazione dello scritto e dell'orale) pubblicato sul sito IOL- Insegnamenti online.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Andrea Bonfiglioli