66736 - METODI NUMERICI

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscenza degli aspetti fondamentali di metodologie dell'algebra lineare numerica e dell'analisi numerica utilizzabili nei sistemi informatici. Particolare attenzione sarà rivolta all'acquisizione di strumenti di base matematicocomputazionali tipici di alcune applicazioni come l'elaborazione di segnali ed immagini e l'analisi di dati strutturati.

Contenuti

1. Il Calcolo Numerico - Obiettivi e problemi nella risoluzione di problemi pratici al calcolatore.

2. Numeri Finiti - Rappresentazione dei numeri reali. I numeri finiti. Errori di rappresentazione. Aritmetica floating point. Analisi dell’errore nelle operazioni aritmetiche elementari. Propagazione degli errori: stabilità e condizionamento.

3. Richiami di Algebra Lineare - Richiami su vettori, matrici e spazi vettoriali. Norme di vettori e norme di matrici.

4. Zeri di Funzioni - Formulazione del problema. Tecniche di Risoluzione. Metodi iterativi, convergenza e ordine dei metodi. Metodi a convergenza locale e a convergenza globale. Metodo di bisezione e altri metodi del primo ordine a convergenza globale. Metodi iterativi di punto fisso. Teorema di convergenza. Un metodo del secondo ordine: il metodo di Newton. Metodi quasi-Newton: il metodo delle secanti.

5. Soluzione numerica di Sistemi Lineari - Indice di condizionamento di una matrice e buona posizione del problema. Algoritmo di eliminazione Gaussiana e fattorizzazione LU di una matrice. Stabilità della fattorizzazione LU. Strategie pivotali. Fattorizzazione di Cholesky per matrici simmetriche e definite positive. Metodo di Householder e fattorizzazione QR di matrici rettangolari. Proprietà.

6. Approssimazione ai minimi quadrati - Metodo delle equazioni normali e metodo QRLS.

7. Interpolazione - Interpolazione polinomiale. Esistenza ed unicità del polinomio interpolatore. Forma di Lagrange e forma di Newton. Espressione dell'errore nell'interpolazione polinomiale. Problemi di convergenza. Condizionamento del problema di interpolazione polinomiale.

8. Integrazione Numerica - Formule di quadratura di Newton-Cotes. Formule semplici e formule composite. Errore delle formule di quadratura semplici e composite. Quadratura adattiva.

9. Analisi di Fourier - Serie di Fourier. Trasformata continua di Fourier e trasformata discreta di Fourier. Proprietà. Teorema di convoluzione e di correlazione. Fast Fourier Transform (FFT). Tecniche di Filtraggio di segnali nel dominio di Fourier: filtri lowpass e highpass.

Testi/Bibliografia

Fondamentale sarà l’utilizzo degli appunti presi a lezione e del materiale informatico reso disponibile in rete. Per ulteriori approfondimenti si consigliano:

[1] A. Quarteroni, F. Saleri: Introduzione al Calcolo Scientifico - Esercizi e problemi risolti con MATLAB, Springer Verlag, 2006

[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio: Matematica Numerica (4a edizione), Springer Verlag, 2014

[3] R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi: Metodi Numerici, Zanichelli, Bologna, 1992

[4] D. Bini, M. Capovani, O. Menchi: Metodi numerici per l'algebra lineare, Zanichelli, Bologna, 1996

[5] E. O. Brigham, The Fast Fourier Transform and its applications, Prentice-Hall, New Jersey, USA, 1988

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali ed esercitazioni in laboratorio. Più precisamente, alle lezioni frontali in aula in cui vengono presentati i metodi numerici di base per risolvere problemi classici della matematica mediante l'uso di un calcolatore, fanno seguito esercitazioni in laboratorio che mirano all'implementazione di tali metodi in MATLAB e allo sviluppo di un'adeguata sensibilità e consapevolezza del loro utilizzo.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame mira a verificare il raggiungimento dei seguenti obiettivi didattici:

- conoscenza degli elementi fondamentali del calcolo numerico, illustrati durante le lezioni frontali;

- capacità di impiegare i metodi numerici di base per risolvere problemi reali mediante calcolatore.

L'esame di fine corso (la cui valutazione è in trentesimi) si svolgerà in un'unica prova che comprende, sia la realizzazione al calcolatore di codici MATLAB per la risoluzione di problemi numerici, che la risposta scritta a domande teoriche sugli argomenti trattati nelle lezioni frontali.

Durante la prova non è ammesso l'uso di materiale di supporto quale libri di testo, appunti, supporti informatici.

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NOTA BENE: DURANTE L'EMERGENZA covid-19, LE PROVE D'ESAME SI SVOLGERANNO IN MODALITA' ONLINE, CON GLI STUDENTI A CASA PROPRIA AL LAVORO SUL PROPRIO PC. IN TALE CONTINGENZA, LA PROVA D'ESAME DURERA' SOLO 90 MINUTI. PER POTER SOSTENERE L'ESAME ONLINE LO STUDENTE DOVRA' INSTALLARE SUL PROPRIO PC:

1) ZOOM CLIENT FOR MEETINGS (per una corretta installazione seguire le istruzioni alla pagina https://www.unibo.it/it/servizi-e-opportunita/servizi-online/servizi-online-per-studenti-1/lezioni-ed-esami-online
e selezionare “Come sostenere online un esame scritto con Zoom”)

2) MATLAB

3) UN'APPLICAZIONE PER LA CREAZIONE DI FILE .ZIP O .RAR

Infine, poichè durante la prova d'esame la webcam dovrebbe essere in grado di riprendere non solo il viso dello studente, ma anche il tavolo e le mani, sarebbe opportuno utilizzare una webcam esterna (o anche una tastiera esterna) per migliorare la visibilità della postazione di lavoro. La tastiera esterna potrebbe essere utilizzata in mancanza di webcam esterna, per allontanarsi sufficientemente dal pc e permettere alla webcam integrata una piu’ ampia visione. Per poter invece utilizzare come webcam esterna un cellulare o un tablet, è necessario installare opportune applicazioni in quanto nè cellulare nè tablet possono essere loggati a Zoom. Lo studente deve essere loggato a Zoom solo dal pc in cui svolgerà la prova.

GLI STUDENTI CHE NON POSSONO DOTARSI DEGLI STRUMENTI INDICATI QUI SOPRA, SONO INVITATI A CONTATTARMI IL PRIMA POSSIBILE.

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Strumenti a supporto della didattica

Il corso prevede un'attività di laboratorio in cui si utilizzerà il software MATLAB. Il relativo materiale didattico verrà messo a disposizione dello studente in formato elettronico e sarà reperibile sulla piattaforma IOL (Insegnamenti OnLine).

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Lucia Romani

Consulta il sito web di Damiana Lazzaro