00674 - MATEMATICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente ha compreso ed è in grado di utilizzare gli strumenti elementari dell'analisi matematica delle funzioni di una variabile reale; possiede le conoscenze di base della teoria delle matrici e dell'algebra lineare. In particolare, lo studente è in grado di: - calcolare limiti, derivate e polinomi di Taylor di una funzione - studiare il grafico di una funzione - calcolare integrali e integrali generalizzati di una funzione - risolvere sistemi lineari operando con vettori e matrici - riconoscere insiemi linearmente indipendenti e sottospazi - calcolare prodotti interni, norme, proiezioni ortogonali - diagonalizzare matrici quadrate.

Contenuti

Concetti di base su insiemi e funzioni fra insiemi. Numeri reali e proprietà. Equazioni e disequazioni.

Proprietà di funzioni reali di una variabile reale. Funzioni elementari: funzioni lineari, quadratiche, funzioni potenza, esponenziali, logaritmiche, irrazionali e trigonometriche. Operazioni aritmetiche e composizione di funzioni.

Intorni di un punto. Punti di accumulazione di un insieme. Definizione generale di limite. Limiti di funzioni monotone. Limiti e operazioni algebriche, forme di indecisione. Asintoti.

Continuità. Funzioni continue su un insieme compatto e su un intervallo. Derivata e significato geometrico. Derivate di funzioni elementari. Formula di Taylor-MacLaurin. Punti angolosi, tangenti verticali. Algebra delle derivate. Derivate di funzioni composte. Ottimizzazione non vincolata per funzioni in una variabile. Teoremi sulle funzioni derivabili. Il teorema di de l'Hopital. Derivata seconda: concavità e convessità. Condizioni del secondo ordine per massimi e minimi. Studio del grafico di una funzione.

spazio vettoriale n-dimensionale; interpretazioni geometriche. Sottospazi. Spazi vettoriali finitamente generati; indipendenza lineare, basi e dimensione.

Applicazioni lineari fra spazi vettoriali; composizione, inversione. Matrici; prodotto di matrici; associatività, non commutatività; trasposizione; inversione; potenze.

Determinante di matrici e sviluppi di Laplace. Proprietà del determinante.

Funzioni in più variabili. Vettore gradiente. Matrice Hessiana. Ottimizzazione non vincolata per funzioni in più variabili.

La matrice inversa e proprietà. Il rango e le proprietà.

Sistemi lineari; rappresentazione vettoriale e matriciale. Sistemi lineari di n equazioni in n incognite e regola di Cramer. Sistemi lineari di m equazioni in n incognite e teorema di Rouchè-Capelli. Soluzioni di sistemi lineari quadrati o rettangolari con parametro.

Endomorfismi, Autovettori ed autovalori di un endomorfismo. Caratterizzazione degli autovalori, polinomio caratteristico.

L'integrale come limite di somme; classi di funzioni integrabili. Proprietà dell'integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di integrali definiti e indefiniti; integrali immediati; integrazione per parti; integrazione per sostituzione. Integrali generalizzati di funzioni non limitate o definite su intervalli illimitati. Funzione integrale.

Successioni e serie numeriche; serie aritmetica, serie geometrica e serie armonica; rendite perpetue come esempi di serie geometriche; criteri per determinare il carattere di una serie; serie a termini non negativi.

Testi/Bibliografia

uno qualunque tra i seguenti:

M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa : Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare. 2a ed., Zanichelli, Bologna, 2004.

A. Guerraggio, Matematica, Bruno Mondadori Editore, Milano.

K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Strom (a cura di D. La Torre), Metodi Matematici per l'Analisi Economica e Finanziaria, Pearson.

- M. Bertocchi, S. Stefani, G. Zambruno, Matematica per l'economia e la finanza, McGraw-Hill Company.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta finale e una successiva prova orale. La prova scritta prevede la risoluzione analitica di due o piu' esercizi.
La prova orale mira a verificare l'acquisizione delle conoscenze previste dal programma del corso. Il voto finale, espresso in trentesimi, tiene conto delle valutazioni riportate in entrambe le prove.

Strumenti a supporto della didattica

Prima dell'inizio delle lezioni sono previsti i precorsi sulle nozioni propedeutiche al corso di matematica generale; la frequenza di tali precorsi è vivamente consigliata.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Giovanni Mongardi