46146 - ANALISI NON LINEARE

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente conosce: alcuni degli aspetti della teoria non lineare con particolare riferimento alle equazioni a derivate parziali e alla teoria del potenziale; è in grado di riconoscere le principali specificità non lineari della teoria considerata, mettendo in rilievo dove questa si discosta, e dove invece assomiglia all'analisi lineare.

Contenuti

Il corso è strutturato su due parti che verranno svolte in serie in modo autoconsistente. Non sono necessarie conoscenze preliminari particolari oltre a quelle già fornite dai corsi curriculari del Corso di studi in Matematica.

Modulo 1 (prof.ssa Simonetta Abenda): Introduzione ai sistemi hamiltoniani integrabili

Al termine di questo modulo, lo studente conosce le idee e le tecniche di base riguardanti alcuni aspetti fondanti della teoria dei sistemi hamiltoniani integrabili. Programma:

- Richiami sui sistemi hamiltoniani finito dimensionali, varietà simplettiche e parentesi di Poisson

- Sistemi hamiltoniani completamente integrabili (teorema di Arnold-Liouville), separazione di variabili e variabili azione-angolo

- Integrabilità algebrica, rappresentazione di Lax, matrici R, equazione di Yang-Baxter classica;

- Cenni alla teoria analitica delle superfici di Riemann

- Applicazioni: reticolo di Toda e gerarchia di Korteweg- de Vries

 

Modulo 2 (prof. Vittorio Martino): Introduzione ai metodi di minimax nella teoria variazionale dei punti critici

Al termine di questo modulo, lo studente conosce le idee e le tecniche di base riguardanti i metodi di minimax nella teoria variazionale dei punti critici. Programma:

-Condizione di compattezza di Palais-Smale

- Il lemma di deformazione

- Il teorema del passo montano

- Applicazioni a PDEs di tipo ellittico

- Principio di minimax

- Proprietà di linking

- Applicazioni a sistemi Hamiltoniani

Testi/Bibliografia

Modulo 1:

- V. I. Arnold, A.B. Givental: Symplectic Geometry, in Dynamical Systems IV, Encyclopedia of Mathematical Sciences, volume 4, V. I. Arnold and S.P. Novikov Editors, Springer (Capitolo 3)

- O. Babelon, D. Bernard, M. Talon: Introduction to classical integrable systems, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press (2003)

- M.A. Olshanetsky, A.M. Perelomov: Integrable systems and finite dimensional Lie algebras, Chapter1 of Integrable Systems II, in Dynamical Systems VII, Encyclopedia of Mathematical Sciences, volume 4, V. I. Arnold and S.P. Novikov Editors, Springer (Toda)

- B.A. Dubrovin: Integrable Systems and Riemann Surfaces
Lecture Notes (preliminary version), 2009

Modulo 2:

- M.Struwe, Variational Methods; Springer.

- A.Ambrosetti, A.Malchiodi, Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problems; Cambridge University Press.

- P.H.Rabinowitz, Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations; AMS-CBMS.

Metodi didattici

 

Lezioni in aula.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

 

L'esame consiste in una prova orale sul programma del corso.

Strumenti a supporto della didattica

Modulo 1:

Materiali a supporto dell'apprendimento, quali le dispense del corso, saranno pubblicati sulla piattaforma on-line del corso

 

Modulo 2:

Eventuale materiale riguardante i vari argomenti trattati, si potranno trovare al seguente indirizzo: http://www.dm.unibo.it/~martino/teaching.html

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Simonetta Abenda

Consulta il sito web di Vittorio Martino