34734 - ELEMENTI DI GEOMETRIA DA UN PUNTO DI VISTA SUPERIORE

Anno Accademico 2019/2020

  • Docente: Monica Idà
  • Crediti formativi: 6
  • SSD: MAT/03
  • Lingua di insegnamento: Italiano
  • Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza
  • Campus: Bologna
  • Corso: Laurea Magistrale in Matematica (cod. 8208)

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del modulo, lo studente possiede: - nozioni avanzate sui fondamenti della matematica e della geometria nel loro sviluppo storico classico e moderno; - conoscenze specifiche per l'insegnamento della matematica.

Contenuti

Nella prima parte del corso vengono dati i primi elementi di geometria proiettiva e si studiano le curve algebriche piane affini e proiettive, reali e complesse, con particolare attenzione allo studio delle singolarità.

Nella seconda parte del corso si parla dei fondamenti della geometria:

Il metodo assiomatico secondo Euclide. Le definizioni, i postulati e le nozioni comuni negli elementi. Problemi nella assiomatizzazione di Euclide: intersezioni di rette e di cerchi, il metodo della sovrapposizione, punti fra due punti dati su una retta, rette fra due rette date in un fascio. L'assioma di Playfair e il 5° postulato.

La geometria piana in Hilbert: i 5 gruppi di assiomi.

 Indipendenza, non contraddittorietà, non contraddittorietà relativa, categoricità e completezza di un sistema di assiomi.

Il piano cartesiano P_F su un campo F. Campi ordinati, pitagorici, euclidei, archimedei e rispettive proprietà di P_F.  Il campo dei numeri costruibili e il campo di Hilbert Ω. campi ordinati archimedei sono i sottocampi di R; ogni campo archimedeo completo è isomorfo ad R.

Una geometria di incidenza è coordinatizzabile su un corpo se e solo se vale il Teorema di Desargues. Una geometria di incidenza desarguesiana è coordinatizzabile su un campo se e solo se vale il Teorema di Pappo-Pascal. 

Gli assiomi di Hilbert sono un sistema categorico che dà R^2.

Un esempio di campo non archimedeo: R(t). La non contraddittorietà della geometria di Hilbert segue dalla non contraddittorietà dei numeri reali, e questa dalla non contraddittorietà di N: il secondo problema di Hilbert.

La teoria degli insiemi di Cantor. Il problema dei fondamenti dell'aritmetica e della teoria degli insiemi alla fine dell' 800- inizi 900. I paradossi più famosi: il paradosso di Richard, il paradosso del barbiere, il paradosso di Cantor sull'insieme di tutti gli insiemi. Teorie degli insiemi di tipo assiomatico come superamento dei paradossi. Il sistema di Zermelo-Fraenkel. L'Assioma della Scelta, l'Assioma di Zermelo, il Lemma di Zorn.

Il problema filosofico dei fondamenti della matematica. La scuola logicista: G.Peano e G.Frege, Bertrand Russel e Alfred North Whitehead. La scuola intuizionista: Kronecker, Henri Poincarè, Brouwer.La scuola formalista: David Hilbert. Kurt Gödel e i teoremi di incompletezza.

 Esame di libri di testo per la geometria del primo biennio delle superiori, con particolare attenzione alla scelta iniziale degli assiomi.

Testi/Bibliografia

Gli Elementi di Euclide. A cura di Attilio Fraiese e Lamberto Maccioni. Unione Tipografico - Editrice Torinese 1970.

David Hilbert, Fondamenti della Geometria. Feltrinelli 1970

Robin Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond. Springer 2000

 

Libri e siti consigliati per la parte sulle curve piane:

E.Sernesi: "Geometria 1", Bollati Boringhieri, Torino 1989

http://www.dm.unibo.it/matematica/GeometriaProiettiva/hompg/hompg.htm

Metodi didattici

L’insegnamento si compone di 6CFU, di cui 5CFU di lezioni frontali ed 1CFU, corrispondente a 12 ore, di esercitazioni.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame mira a verificare il raggiungimento dei seguenti obiettivi didattici:

- esporre con coerenza alcuni argomenti del corso, dando prova di aver compreso a fondo i concetti fondamentali e i meccanismi di deduzione;

- risolvere esercizi inerenti gli argomenti svolti.

L'esame consiste di una prova scritta (che consiste di alcuni esercizi che vertono sulla prima parte del corso) ed un colloquio orale, che devono essere sostenuti entrambi nello stesso appello. Per poter sostenere la prova orale è necessario aver riportato una votazione non inferiore a 18/30 nella prova scritta.

Il voto del Corso di Elementi di Geometria da un punto di vista superiore tiene conto dei risultati conseguiti in entrambe le prove.

Il voto finale del corso di Elementi di Algebra e Geometria da un punto di vista superiore è la media dei due voti di Elementi di Algebra e di Elementi di Geometria.

Attenzione: Per gli appelli di giugno e luglio 2020 l'esame online sarà solo orale, e la prima domanda consisterà nell'assegnazione di un esercizio articolato in più quesiti.

Strumenti a supporto della didattica

Verranno messi a disposizione dello studente in formato elettronico tramite internet fogli di esercizi e i vecchi compiti di esame

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Monica Idà