34734 - ELEMENTI DI GEOMETRIA DA UN PUNTO DI VISTA SUPERIORE

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del modulo, lo studente possiede: - nozioni avanzate sui fondamenti della matematica e della geometria nel loro sviluppo storico classico e moderno; - conoscenze specifiche per l'insegnamento della matematica.

Contenuti

Nella prima parte del corso (26 ore circa) vengono dati i primi elementi di geometria proiettiva e si studiano le curve algebriche piane affini e proiettive, reali e complesse, con particolare attenzione allo studio delle singolarità.

Nella seconda parte del corso si parla dei fondamenti della geometria:

Il metodo assiomatico secondo Euclide. Le definizioni, i postulati e le nozioni comuni negli elementi. Problemi nella assiomatizzazione di Euclide: intersezioni di rette e di cerchi, il metodo della sovrapposizione, punti fra due punti dati su una retta, rette fra due rette date in un fascio. L'assioma di Playfair e il 5° postulato.

La geometria piana in Hilbert: i 5 gruppi di assiomi.

Indipendenza, non contraddittorietà, non contraddittorietà relativa, categoricità e completezza di un sistema di assiomi.

Il piano cartesiano P_F su un campo F. Campi ordinati, pitagorici, euclidei, archimedei e rispettive proprietà di P_F. Il campo dei numeri costruibili e il campo di Hilbert Ω. I campi ordinati archimedei sono i sottocampi di R; ogni campo archimedeo completo è isomorfo ad R.

Una geometria di incidenza è coordinatizzabile su un corpo se e solo se vale il Teorema di Desargues. Una geometria di incidenza desarguesiana è coordinatizzabile su un campo se e solo se vale il Teorema di Pappo-Pascal.

Gli assiomi di Hilbert sono un sistema categorico che dà R^2.

Un esempio di campo non archimedeo: R(t). La non contraddittorietà della geometria di Hilbert segue dalla non contraddittorietà dei numeri reali, e questa dalla non contraddittorietà di N: il secondo problema di Hilbert.

La teoria degli insiemi di Cantor. Il problema dei fondamenti dell'aritmetica e della teoria degli insiemi alla fine dell' 800- inizi 900. I paradossi più famosi: il paradosso di Richard, il paradosso del barbiere, il paradosso di Cantor sull'insieme di tutti gli insiemi. Teorie degli insiemi di tipo assiomatico come superamento dei paradossi. Il sistema di Zermelo-Fraenkel. L'Assioma della Scelta, l'Assioma di Zermelo, il Lemma di Zorn.

Il problema filosofico dei fondamenti della matematica. La scuola logicista: G.Peano e G.Frege, Bertrand Russel e Alfred North Whitehead. La scuola intuizionista: Kronecker, Henri Poincarè, Brouwer.La scuola formalista: David Hilbert. Kurt Godel e i teoremi di incompletezza.

Esame di libri di testo per la geometria del primo biennio delle superiori, con particolare attenzione alla scelta iniziale degli assiomi.

Testi/Bibliografia

Gli Elementi di Euclide. A cura di Attilio Frajese e Lamberto Maccioni. Unione Tipografico - Editrice Torinese 1970.

David Hilbert, Fondamenti della Geometria. Feltrinelli 1970

Robin Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond. Springer 2000

Libri e siti consigliati per la parte sulle curve piane:

E.Sernesi: "Geometria 1", Bollati Boringhieri, Torino 1989

http://www.dm.unibo.it/matematica/GeometriaProiettiva/hompg/hompg.htm

Metodi didattici

L’insegnamento si compone di 6CFU, di cui 5CFU di lezioni frontali ed 1CFU, corrispondente a 12 ore, di esercitazioni.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Il voto del Corso di Elementi di Geometria pvs viene definito mediante una prova scritta di due ore che verte sulla prima parte del corso, e una prova orale che verte sulla seconda parte del corso.

Il voto finale del corso di Elementi di Algebra e Geometria da un punto di vista superiore è la media dei due voti di Elementi di Algebra e di Elementi di Geometria.

Strumenti a supporto della didattica

Verranno messi a disposizione dello studente in formato elettronico tramite internet fogli di esercizi e i vecchi compiti di esame

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Monica Idà