Curriculum Vitae di Andrea Bonfiglioli
Contenuti:
--Vita e Studi
--Pubblicazioni Scientifiche
--Descrizione Generale dell'Attività Scientifica
--Attività Didattica
--Partecipazione a Progetti di Ricerca e Convegni
--Breve Descrizione delle Singole Pubblicazioni
Vita e studi:
1. Sono nato a Bologna il 17/05/1974 e risiedo a
Zola Predosa (Bologna).
2. Mi sono diplomato presso il Liceo
Scientifico "Leonardo da Vinci" di Casalecchio di Reno
(Bologna) nell'Anno Scolastico 1992-93 con voto finale di 60
su 60.
3. Ho conseguito la Laurea in Matematica,
indirizzo Generale, presso la Facoltà di Scienze MM. FF. NN.
dell'Università di Bologna, il 17/07/1998, con votazione
finale 110/110 e Lode, discutendo una tesi dal titolo "Alcune
Equazioni di tipo Curvatura di Levi" (relatore prof. E.
Lanconelli).
4. Ho prestato servizio civile nel periodo
15-11-1999/14-09-2000, presso l'Università di Bologna (Segreteria
Didattica e Scientifica del Dipartimento di Matematica).
5. Nell'A.A. 1998-99 sono risultato vincitore del
concorso per l'ammissione al XIV ciclo del Dottorato di Ricerca in
Matematica, presso l'Università di Bologna.
6. Nell'ottobre 2000 ho conseguito l'Abilitazione
all'Insegnamento per la Classe di Concorso A047 -- Matematica nelle
Scuole Secondarie della Regione Emilia-Romagna, essendomi
classificato ai primi posti della graduatoria per il Concorso
Ordinario a Cattedre per Titoli ed Esami (2000).
7. Nel periodo marzo 2003 - maggio 2003 ho
seguito il Corso di Formazione per Docenti Neo-Assunti (40
ore), obbligo istituzionale per la titolarità della cattedra in
Matematica di cui sopra.
8. Ho conseguito il titolo di Dottore di Ricerca
in Matematica presso l'Università di Bologna il 29/04/2003 (XIV
ciclo), discutendo una tesi dal titolo "Operatori Differenziali del
Secondo Ordine sui Gruppi di Lie Stratificati" (relatore prof. E.
Lanconelli).
9. Dal 1/11/2002 al 31/10/2006 sono stato
Assegnista di Ricerca in Matematica presso l'Università di Bologna
nell'ambito di un progetto di ricerca dal titolo "Equazioni
sub-Ellittiche sui Gruppi di Lie Omogenei" (relatore prof. E.
Lanconelli).
10. Dal 01/09/2000 al 31/10/2006 sono stato
docente in ruolo (giuridico) per la cattedra di Matematica presso
l'Istituto Superiore I.P.S.S.A.R. di Castel S. Pietro Terme
(Bologna). In tale periodo, sono stato in congedo da tale docenza
per motivi di studio (Dottorato ed Assegno di Ricerca).
11. Dal 01/11/2006 al 14/09/2014 sono stato Ricercatore in Matematica
presso la Facoltà di Scienze MM. FF. NN. dell'Università di Bologna
nel settore disciplinare MAT/05 Analisi Matematica. Dal 01/11/2009 al 14/09/2014
sono stato Ricercatore Confermato.
12. Da settembre 2014 sono Professore Associato di Analisi
Matematica presso l'Università di Bologna.
13. Nel marzo 2017 ho conseguito l'Abilitazione Scientifica Nazionale per la Prima Fascia 01/A3 - ANALISI MATEMATICA, PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA.
Altre informazioni relative al percorso scientifico e
professionale:
1. Nell'A.A. 1999/2000 ho collaborato
all'organizzazione dell'evento "Matematica Arte e Tecnologia - da
Escher alla Computer Graphics", organizzato dal Dipartimento di
Matematica dell'Università di Bologna, in occasione del "World
Mathematical Year 2000". Ho collaborato all'allestimento della
relativa mostra (Bologna, 12 ottobre-31 dicembre 2000), curandone
altresì il catalogo.
2. Da settembre 2010 a maggio 2012 ho collaborato
con la Casa Editrice Zanichelli di Bologna come editor e revisore
nel Progetto "MATutor" (per la realizzazione di materiale
editoriale e strumenti multimediali per lo studio della Matematica
nella Scuola Secondaria Superiore), e sono tra i revisori e tra i
realizzatori di testi ed esercizi per il libro "MATutor per la
quinta Liceo Scientifico" [M. Bergamini, G. Barozzi, Zanichelli,
Bologna (2012)].
3. Dall'A.A. 2012/2013 partecipo al Piano
nazionale Lauree Scientifiche (PLS) del M.I.U.R. (per
l'orientamento e la formazione degli insegnanti), classe di
Matematica, presso il Dipartimento di Matematica di Bologna e sono
responsabile di un laboratorio.
4. Nell'A.A. 2012/2013 sono stato membro della
Commissione Didattica del Dipartimento di Matematica di Bologna.
Dall'A.A. 2010/2011 sono membro della "Commissione per
l'Orientamento" (poi Gruppo Quality Assurance) dei CdS in
Matematica di Bologna.
5. Dall'A.A. 2011/2012 sono responsabile delle
Giornate dell'Orientamento per i CdS Triennale e Magistrale in
Matematica. Ho fatto parte del gruppo di lavoro che gestisce lo
spazio "Orientamento in Itinere" per gli studenti del CdS Triennale
in Matematica.
6. Per tredici Anni Accademici (a partire dal
1999/2000) ho svolto una collaborazione con C.E.U.R. ("Centro
Europeo Università e Ricerca") per il Tutorato in Analisi
Matematica presso la Residenza Universitaria di Eccellenza "Alma
Mater" di Bologna.
7. Da giugno 2008 a settembre 2010 ho svolto
un'attività di sostegno presso l'Istituto per non vedenti "F.
Cavazza" di Bologna, per la didattica speciale della Matematica in
presenza di diversa-abilità visiva.
Pubblicazioni Scientifiche su Rivista:
[1] Liouville-type theorems for real sub-Laplacians (con E.
Lanconelli) Manuscripta Math. 105, 111--124 (2001).
[2] Expansion of the Heisenberg integral mean via iterated Kohn
Laplacians: a Pizzetti-type formula, Pot. Analysis 17, 165--180
(2002).
[3] Maximum Principle on unbounded domains for sub-Laplacians: a
Potential Theory approach (con E. Lanconelli), Proc. Amer. Math.
Soc. 130, 2295--2304 (2002).
[4]Uniform Gaussian estimates of the fundamental solutions for heat
operators on Carnot groups (con E. Lanconelli, F. Uguzzoni), Adv.
Differential Equations 7, 1153-1192 (2002).
[5] Subharmonic functions on Carnot groups (con E. Lanconelli),
Math. Ann. 325, 97--122 (2003).
[6] Levi's parametrix for some sub-elliptic non-divergence form
operators (con E. Lanconelli, F. Uguzzoni), Electron. Res. Announc.
Math. Sci. 9, 10--18 (2003).
[7] Some non-existence results for critical equations on step-two
stratified groups (con F. Uguzzoni), C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I
Math. 336, 817--822 (2003).
[8] Nonlinear Liouville theorems for some critical problems on
H-type groups (con F. Uguzzoni), J. Funct. Anal. 207, 161--215
(2004).
[9] Homogeneous Carnot groups related to sets of vector fields,
Bollettino U.M.I. (8) 7-B, 79--107 (2004).
[10] Families of diffeomorphic sub-Laplacians and free Carnot
groups (con F. Uguzzoni), Forum Math. 16, 403--415 (2004).
[11] Fundamental solutions for non-divergence form operators on
stratified groups (con E. Lanconelli, F. Uguzzoni), Trans. Amer.
Math. Soc. 356, 2709--2737 (2004).
[12] A note on lifting of Carnot groups (con F. Uguzzoni), Rev.
Mat. Iberoamericana 21, 1013--1035 (2005).
[13] A Poisson-Jensen type representation formula for subharmonic
functions on stratified Lie groups (con C. Cinti), Pot.
Analysis 22, 151--169 (2005).
[14] Representation formulas and Fatou-Kato theorems for heat
operators on stratified groups (con F. Uguzzoni) Rendiconti di
Matematica, Serie VII, 25, 53--67 (2005).
[15] The theory of energy for sub-Laplacians with an application to
quasi-continuity (con C. Cinti) Manuscripta Math. 118,
283--309 (2005).
[16] Maximum principle and propagation for intrinsicly regular
solutions of differential inequalities structured on vector fields
(con F. Uguzzoni) J. Math. Anal. Appl. 322, 886--900
(2006).
[17] Dirichlet problem with L^p-boundary data in contractible
domains of Carnot groups (con E. Lanconelli), Ann. Sc. Norm. Super.
Pisa, Cl. Sci. 5, 579--610 (2006).
[18] Harnack inequality for non-divergence form operators on
stratified groups (con F. Uguzzoni) Trans. Amer. Math. Soc. 359,
2463—2481 (2007).
[19] Gauge functions, Eikonal equations and Bocher's theorem on
stratified Lie groups (con E. Lanconelli) Calc. Var. Partial Diff.
Equations 30, 277--291 (2007).
[20] Stratified Lie Groups and Potential Theory for their
sub-Laplacians, Monografia (ca. 800 pagine) (con E. Lanconelli, F.
Uguzzoni), Springer Monographs in Mathematics, vol. XXVI. New York,
NY: Springer-Verlag, 2007 (XXVI p. + 800 p.). ISSN: 1439-7382,
ISBN-10 3-540-71896-6.
[21] Taylor formula for homogeneous groups and applications, Math.
Z. 262, 255--279 (2009).
[22] Pizzetti's formula for H-type groups, Potential Analysis 31,
311--333 (2009).
[23] Lifting of convex functions on Carnot groups and lack of
convexity for a gauge function, Archiv der Math. 93, 277--286
(2009).
[24] On left invariant Hörmander operators in R^N. Applications to
Kolmogorov-Fokker-Planck equations (con E. Lanconelli), Journal of
Mathematical Sciences 171, n.1, 22--33 (2010).
[25] On left-invariant Hörmander operators in R^N: applications to
the Kolmogorov-Fokker-Planck equations (con E. Lanconelli),
(Russian) Sovrem. Mat. Fundam. Napravl. 36, 24--35 (2010).
[26] An ODE's version of the formula of Baker, Campbell, Dynkin and
Hausdorff and the construction of Lie groups with prescribed Lie
algebra, Mediterr. J. Math. 7, 387--414 (2010).
[27] Topics in Noncommutative Algebra. The Theorem of Campbell,
Baker, Hausdorff and Dynkin (con R. Fulci), Lecture Notes in
Mathematics, vol. 2034, Springer-Verlag, 2011 (XXII p.+ 498 p.).
ISBN 978-3-642-22596-3
[28] A new proof of the existence of free Lie algebras and an
application (con R. Fulci), ISRN Algebra, Volume 2011 (2011),
Article ID 247403, 11 pages. doi:10.5402/2011/247403
[29] Lie groups related to Hörmander operators and
Kolmogorov-Fokker-Planck equations (con E. Lanconelli), Commun.
Pure Appl. Anal. 11, 1587--1614 (2012).
[30] A new characterization of convexity in free Carnot groups (con
E. Lanconelli), Proc. Amer. Math. Soc. 140, 3263--3273
(2012).
[31] Matrix exponential groups and Kolmogorov-Fokker-Planck
equations (con E. Lanconelli), J. Evol. Equ. 12, 59--82
(2012)
[32] The early proofs of the Theorem of Campbell, Baker, Hausdorff
and Dynkin (con R. Achilles), Arch. Hist. Exact Sci. 66, 295--358
(2012).
[33] On the Dirichlet problem and the inverse mean value theorem
for a class of divergence form operators (con B. Abbondanza), J.
Lond. Math. Soc. (2) 87 (2013), no. 2, 321–346.
[34] H-convex distributions in stratified groups (con E.
Lanconelli, V. Magnani, M. Scienza), Proc. Amer. Math. Soc. 141
(2013), 3633–3638.
[35] Subharmonic functions in sub-Riemannian settings (con E.
Lanconelli), J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 15 (2013), no. 2,
387–441.
[36] On the convergence of the
Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin series in infinite-dimensional
Banach-Lie algebras (con S. Biagi), Linear Multilinear
Algebra 62 (2014), 1591–1615.
[37] Convexity of average operators for subsolutions to
subelliptic equations (con E.Lanconelli e A.Tommasoli), Anal. PDE 7
(2014), 345–373.
[38] Normal families of functions for subelliptic operators and the
theorems of Montel and Koebe (con E. Battaglia), J. Math. Anal.
Appl. 409 (2014), 1–12.
[39] A completeness result for time-dependent vector fields and applications (con S.Biagi), Commun. Contemp. Math. 17 (2015), no. 4, 1450040, 1-26.
[40] The q-deformed Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin theorem (con R.Achilles e J.Katriel), Electron. Res. Announc. Math. Sci. 22 (2015), 32–45.
[41] The strong maximum principle and the Harnack inequality for a class of hypoelliptic non-Hörmander operators (con E.Battaglia e S.Biagi) Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 66, 589-631 (2016).
[42] A Hadamard-type open map theorem for submersions and applications to completeness results in control theory (con A.Montanari e D.Morbidelli), Ann. Mat. Pura Appl. 195, 445-458 (2016).
[43] Weighted L^p-Liouville theorems for hypoelliptic partial differential operators on Lie groups (with A.E.Kogoj), J. Evol. Equ. 16, 569-585 (2016).
[44] Generating q-commutator identities and the q-BCH formula (with J. Katriel),
Advances in Mathematical Physics, Volume 2016, Article ID 9598409, 26 pages;
http://dx.doi.org/10.1155/2016/9598409
[45] The existence of a global fundamental solution for homogeneous H\"ormander operators
via a global Lifting method (with S. Biagi), Proc. London Math. Soc. 114 (2017), 855-889.
[46] An invariant Harnack inequality for a class of subelliptic operators under global doubling and Poincaré assumptions, and applications (with E. Battaglia), J. Math. Anal. Appl. 460, 302-320, 2018.
[47] On the Baker-Campbell-Hausdorff Theorem: non-convergence and prolongation issues (with. S. Biagi, M. Matone), to appear in Linear Multilinear Algebra (2019).
[48] "An Introduction to the Geometrical Analysis of Vector Fields - with Applications to Maximum Principles and Lie Groups." (with S. Biagi) World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2019. xxv+423 pp. ISBN: 978-981-3276-61-1
[49] Potential theory results for a class of PDOs admitting a global fundamental solution. In: Analysis and partial differential equations: perspectives from developing countries, 65-83, Springer Proc. Math. Stat., 275, Springer, Cham, 2019.
Pubblicazioni scientifiche a carattere divulgativo:
[a] Bonfiglioli, A., Valentini, C. (editori): Matematica Arte e
Tecnologia: da Escher alla Computer Graphics, Edizioni Aspasia,
Bologna (2000).
[b] "Matematica Arte e Tecnologia: da Escher alla Computer
Graphics" Bologna, 12 ottobre - 3 dicembre 2000 (con C. Valentini),
in "Matematica, Arte, Tecnologia, Cinema" Atti della Mostra e del
Convegno, Bologna 2000, Springer Italia (2001).
[c] Mathematics meets Art: Escher, Reutersvard and Saffaro at
Bologna 2000 (con C. Valentini), in "Mathematics, Art,
Technology, and Cinema" a cura di M. Emmer, Springer Verlag,
November 2003, 33-38.
Seminari dipartimentali (a stampa o sulla rivista elettronica
http://mathematicalanalysis.unibo.it/ dal 2007 anche indicizzati su
Mathematical Reviews):
[d] Gruppi di Carnot associati a campi vettoriali, in: Seminario di
Analisi Matematica, Dipartimento di Matematica dell'Università di
Bologna; Anno Accademico 2001/2002, 27--46, Tecnoprint: Bologna
(2002).
[e] Un teorema di Liouville non lineare sui semispazi dei gruppi di
passo due, in: Seminario di Analisi Matematica, Dipartimento di
Matematica dell'Università di Bologna; Anno Accademico 2002/2003,
25--33, Tecnoprint: Bologna (2003).
[f] Gauge functions, eikonal equation and B\^cher theorem on
stratified Lie groups (con E. Lanconelli), in: Mathematical
Analysis Seminar, University of Bologna Department of Mathematics:
Academic Year 2005/2006 (Italian), 55--63, Tecnoprint: Bologna
(2007).
[g] Taylor formula for homogeneous groups and applications, in:
"Bruno Pini" Mathematical Analysis Seminar: University of Bologna
Department of Mathematics: Academic Year 2007/2008 (Italian),
43--69, Tecnoprint: Bologna (2008).
[h] I Teoremi di Campbell, Baker, Hausdorff e Dynkin. Storia,
prove, problemi aperti in: "Bruno Pini" Mathematical Analysis
Seminar (electronic, ISSN 2240-2829), University of Bologna
Department of Mathematics: Academic Year 2009/2010 (Italian), 1--47
(2008).
[i] Algebras of complete Hörmander vector fields, and Lie-group construction. (Italian) Bruno Pini Mathematical Analysis Seminar 2014, 15–30, Bruno Pini Math. Anal. Semin., 2014, Univ. Bologna, Alma Mater Stud., Bologna, 2014.
Descrizione generale dell'attività scientifica:
La mia attività di ricerca si inquadra nello studio di alcuni
operatori differenziali del secondo ordine con forma caratteristica
semidefinita positiva, ma non ellittici, che rientrano nella classe
di ipoellitticità introdotta da Hörmander. Fra tali operatori,
particolarmente significativi sono i sub-Laplaciani L sui gruppi di
Carnot G, i quali approssimano localmente ogni operatore di
Hörmander. A partire dai generatori di un gruppo stratificato G, si
possono modellare operatori differenziali più generali dei
sub-Laplaciani (ad esempio, con coefficienti poco regolari e di
tipo non variazionale), anch'essi oggetto della mia ricerca.
La principale motivazione dei miei studi è dovuta all'interesse che
attualmente hanno alcuni tipi di equazioni sui gruppi stratificati.
Difatti, negli ultimi tre decenni, dapprima sporadicamente e poi in
modo via via più frequente e sistematico, in contesti sia
applicativi sia teorici, appaiono equazioni differenziali alle
derivate parziali lineari e non lineari, in forma variazionale e
non variazionale, che vengono usualmente (e forse impropriamente)
chiamate di tipo ellittico-degenere. Questa terminologia, piuttosto
generica, non appare del tutto appropriata per classificare queste
equazioni: la forma caratteristica di esse è sì soltanto
semidefinita, ma le strutture algebrico-geometriche soggiacenti
sono spesso estremamente ricche, seppure non di tipo euclideo. Tali
equazioni appaiono in vari contesti, anche molto diversi fra loro,
quali ad esempio la teoria geometrica delle funzioni di più
variabili complesse, la modellizzazione matematica dei materiali
cristallini, i problemi di curvatura per le varietà di
Cauchy-Riemann, la teoria dei sistemi di controllo, la geometria
sub-Riemanniana, i processi di diffusione, la modellizzazione
matematica della visione umana o computerizzata, la Finanza
Matematica, ecc.
Tra le strutture algebrico-geometriche spesso associate a queste
equazioni vi è in particolare quella dei gruppi stratificati (o
come vengono recentemente chiamati, gruppi di Carnot), una
sotto-classe dei gruppi di Lie nilpotenti la cui associata algebra
di Lie ammette una stratificazione, ossia una decomposizione in
strati del tipo seguente G_1+[G_1,G_1]+[[G_1,G_1],G_1]+...Tale
decomposizione rende questi gruppi molto ricchi di proprietà
e contemporaneamente relativamente semplici da studiare anche con
metodi elementari e diretti.
Naturalmente associati ai gruppi di Carnot sono i relativi
sub-Laplaciani, operatori differenziali del secondo ordine somma di
quadrati di campi vettoriali che generano il primo strato G_1.
L'usuale gruppo additivo su R^N ed il classico operatore di Laplace
sono certamente l'esempio più semplice di gruppo stratificato
(commutativo) e di sub-Laplaciano (strettamente ellittico); il ben
noto e molto studiato gruppo di Heisenberg H^n e l'associato
Laplaciano di Kohn costituiscono invece il primo esempio non banale
di gruppo stratificato (non commutativo) e di sub-Laplaciano
ellittico-"degenere". Appare subito evidente dall'esempio del
gruppo di Heisenberg che, sebbene i sub-Laplaciani condividano
molte proprietà con gli operatori ellittici, non si può pensare che
tutti i risultati classici valgano anche nel caso non euclideo, né
tanto meno che i metodi e gli approcci dimostrativi siano gli
stessi del caso ellittico non-degenere.
La mia attività scientifica si articola su alcuni nuclei
principali, strettamente correlati tra di loro:
--Lo studio della struttura dei gruppi di Carnot e dei loro
sub-Laplaciani L.
--Lo studio dell'operatore del calore H=L-d/d_t sui gruppi di
Carnot e degli operatori in forma di non-divergenza modellabili su
L e su H in strutture anche più generali dei gruppi di
Carnot.
--La Teoria del Potenziale per L e per gli operatori in forma di
divergenza su gruppi di Lie qualunque.
--Gli aspetti geometrico-differenziali, algebrici e le applicazioni
alla teoria dei gruppi di Lie e alla teoria delle ODE e PDE del
Teorema di Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin.
Nel seguito, fornisco una breve descrizione di questi topics di
ricerca.
1. Nel corso della mia attività scientifica, ho avuto
modo di studiare in modo sistematico la struttura dei gruppi
stratificati e svariate delle proprietà dei sub-Laplaciani ad essi
associati. Ad esempio, nei lavori [8, 9, 10, 12, 20, 27, 28, 29,
30, 34], unitamente a problemi specifici di Analisi, viene fornita
parte del background algebrico-geometrico per lo studio
approfondito dei gruppi stratificati, seguendo sempre un approccio
diretto ed analitico. In particolare, vengono confrontate la
definizione classica di gruppo di Carnot e una definizione
operativa di gruppo omogeneo di Carnot, estremamente utile nel
contesto analitico.
Alcuni argomenti che ho potuto approfondire, fondamentali anche per
l'Analisi Matematica, sono perciò di carattere essenzialmente
geometrico: ad esempio le algebre libere e nilpotenti, il
procedimento di Lifting dei gruppi stratificati sui gruppi liberi,
l'equivalenza dei sub-Laplaciani, la cosiddetta formula di
Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin, la costruzione di gruppi di Carnot
a partire da campi vettoriali su R^N, le algebre e i gruppi di tipo
H, la formula di Taylor per i gruppi omogenei, la nozione di
convessità ecc.
Una delle classi di gruppi di Carnot che ho studiato più in
dettaglio è quella dei gruppi di tipo H: dopo aver caratterizzato
tali gruppi in modo sufficientemente esplicito, ho studiato un
risultato di non-esistenza per un problema semilineare con
esponente critico su tutti i semispazi (caratteristici e non) dei
gruppi di tipo H (si vedano [7, 8]). Questo risultato migliora
risultati molto recenti in materia.
Recentemente, ho studiato strutture più generali dei gruppi di
Carnot: i gruppi omogenei, [21], e i gruppi non nilpotenti su R^N
che si possono costruire a partire da certi campi vettoriali di
tipo Hörmander (si vedano [24, 25, 26, 29]). Sui primi gruppi ho
dimostrato l'analogo della formula di Taylor (con applicazioni per
ottenere stime di Schauder ed applicazioni a problemi di reale
analiticità); sulle seconde strutture si è provata l'esistenza e le
buone proprietà della soluzione fondamentale, tra cui una proprietà
di invarianza per traslazione a sinistra; inoltre abbiamo fornito
condizioni necessarie e sufficienti affinché un operatore di
Hörmander sia invariante a sinistra su un gruppo di Lie.
2. Il citato background algebrico-geometrico per lo
studio dei gruppi stratificati e dei sub-Laplaciani è stato
ampiamente e approfonditamente trattato nella monografia [20], il
cui scopo è appunto quello di fornire i dettagli analitici e
geometrici per lo studio dei sub-Laplaciani e della Teoria del
Potenziale ad essi associata. Recentemente, ho potuto approfondire
lo studio di queste proprietà algebriche dei gruppi stratificati,
partendo da uno dei più importanti e significativi risultati sui
gruppi di Lie: la formula che porta i nomi di Baker, Campbell,
Dynkin e Hausdorff. È possibile affrontare lo studio di questa
formula e fornirne dimostrazioni sia con metodi di Algebra (serie
formali associate a certe algebre di tensori), sia di Analisi (di
certe equazioni differenziali ordinarie), sia di Geometria
Differenziale (dei gruppi di Lie). Una esposizione unitaria e
self-contained di tutti questi differenti approcci appare nella
monografia [27]; alcune osservazioni collaterali di carattere
puramente algebrico sono raccolte in [28], mentre la prova di una
formula di tipo Campbell-Hausdorff relativamente ad un contesto di
equazioni differenziali ordinarie è stato studiato in [26] (ed è
attualmente in fase di miglioramento in [(iii)]). Osserviamo
esplicitamente che vi sono ancora problemi aperti sulla formula di
Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin, ossia il suo q-analogo che compare
nella teoria della Meccanica Quantistica. Attualmente sto lavorando
a tale problema con l'esperto mondiale in materia Jacob Katriel,
[(ii)].
3. Una parte cospicua della mia ricerca è poi dedicata
alla Teoria del Potenziale per i sub-Laplaciani L sui gruppi
stratificati. A partire dalle buone proprietà della soluzione
fondamentale Gamma di L è possibile ricostruire gran parte della
teoria classica: cito ad esempio teoremi di tipo Harnack-Liouville,
caratterizzazione della subarmonicità rispetto a L, formule di
media per L, teoremi di rappresentazione, formule di tipo
Poisson&Jensen, capacità ed energia per L, la formula di
Pizzetti su gruppi di Heisenberg e su quelli di tipo H, eccetera.
Si vedano i lavori [1, 2, 3, 5, 13, 15, 17, 22]. Come applicazioni
significative di questa Teoria del Potenziale, si ottengono anche
principi del massimo per L su aperti illimitati [3], o proprietà
fini di regolarità, [15], di grande interesse nella letteratura
recente, o, ancora, lo studio del problema di Dirichlet associato
ad L con dati al bordo di classe L^p e gli spazi di Hardy ad essi
associati [17]. Un'altra applicazione della Teoria del potenziale
sui gruppi di Carnot si ottiene nello studio dell'equazione
Eikonale e dei teoremi di tipo Bôcher per la rimozione delle
singolarità [19].
Molto recentemente mi sono occupato di Teoria del Potenziale per
operatori in forma di divergenza, ma non necessariamente in forma
di somme di quadrati di Hörmander, né necessariamente invarianti a
sinistra su gruppi di Lie. Si è provato che, in presenza di una
soluzione fondamentale positiva (e con proprietà di annullamento
all'infinito) si può dare una teoria completa delle associate
funzioni subarmoniche e dei relativi operatori di media, [33, 35,
(iv)]. Alcune delle caratterizzazioni della subarmonicità fornite
nei citati lavori sono nuove anche nel caso classico del Laplaciano
(si veda anche il recentissimo [(i)]).
4. Un'altra parte consistente della mia ricerca è
dedicata all'Operatore del Calore H=Delta_G-d/d_t naturalmente
associato ai gruppi di Carnot (si vedano [4, 6, 11, 14, 18]).
Sebbene molte proprietà di H siano note in letteratura, è possibile
fornire delle prove dirette dell'esistenza e delle buone proprietà
della soluzione fondamentale Gamma per H: in particolare, ho
studiato in dettaglio le stime Gaussiane per Gamma e per le sue
derivate, il relativo problema di Cauchy e la disuguaglianza di
Harnack, le caratterizzazione delle funzioni H-caloriche non
negative (teoremi di tipo Fatou e Kato). I metodi seguiti sono
consistenti con l'approccio diretto con cui sono stati studiati i
gruppi stratificati, in particolare facendo uso di elementi di
Teoria del Potenziale. Questi risultati si applicano allo studio
dei seguenti operatori "a coefficienti variabili" (che non possono
essere posti in forma di divergenza)
$\sum_{i,j} a_{i,j}(x,t)X_iX_j-d/d_t,$ e $ \sum_{i,j}
a_{i,j}(x)X_iX_j$
(essendo \sum_i X_i^2 un sub-Laplaciano su G e (a_{i,j}) una
matrice definita positiva ad entrate Hölderiane): tali operatori
intervengono naturalmente come linearizzazioni di operatori
totalmente non-lineari. In particolare, si è dimostrata la
disuguaglianza di Harnack per tali operatori, [18], e
l'esistenza delle soluzioni fondamentali per essi attraverso
un'adeguata estensione del metodo della Parametrice di Levi, [11]:
tale estensione è non banale e sfrutta opportune stime Gaussiane
uniformi per gli operatori "congelati" $
\sum_{i,j}a_{i,j}(x_0,t_0)X_iX_j-d/d_t$ (si veda [4]), per ottenere
le quali è necessario sfruttare anche risultati di Lifting, [12],
nonché l'equivalenza dei sub-Laplaciani sui gruppi liberi, [10]. Da
questo punto di vista, lo studio degli operatori appena citati
costituisce una summa di gran parte della mia attività di ricerca
(nonché una rilevante motivazione per essa).
Utile per lo studio di questi operatori è la nozione di convessità
orizzontale (h-convessità) sui gruppi di Carnot, [23]. A tale
proposito, ho ottenuto alcuni risultati di tipo
algebrico/geometrico-differenziale sulla h-convessità: in
particolare ho dimostrato che funzioni h-convesse liftano a
funzioni h-convesse quando si lifta un gruppo di Carnot al relativo
gruppo libero nilpotente. Inoltre, ho trovato un esempio di
funzione gauge su un gruppo di passo due con inattese proprietà di
non convessità, rispondendo negativamente ad un problema finora
aperto. Caratterizzazioni deboli della h-convessità sono poi state
ottenute nel recentissimo lavoro [34].
Attività didattica (presso l'Università di Bologna):
A.A. 1998/1999:
Ciclo annuale di esercitazioni e partecipazione alla commissione
d'esame per il corso di Istituzioni di Matematica 2, presso il
corso di Laurea in Scienze Ambientali, Università di Bologna, sede
di Ravenna (referente: prof.ssa Valeria Simoncini).
A.A. 1999/2000 e 2000/2001:
Corso di accoglienza per matricole per il corso di Istituzioni di
Matematica presso il corso di Laurea in Chimica.
A.A. 2001/2002:
Corso di accoglienza per matricole per il corso di Istituzioni di
Matematica presso il corso di Laurea in Chimica.
Corso di Esercitazioni in Analisi Matematica L-A per il Corso di
Laurea in Ingegneria Meccanica (referente: prof. Enrico
Obrecht).
Corso di Esercitazioni in Analisi Matematica L-B per il Corso di
Laurea in Ingegneria Meccanica (referente: prof. Enrico Obrecht).
Corso di Esercitazioni in Analisi Matematica 2 per il Corso di
Laurea in Scienze dell'Informazione, sede di Cesena (referente:
prof.ssa Annamaria Montanari).
Ciclo di dieci ore di didattica, finalizzata alla ricerca, per i
dottorandi in Matematica (XVII Ciclo, Bologna) sul tema
"Introduzione ai Gruppi di Carnot".
A.A. 2002/2003:
Corso di accoglienza per matricole per il corso di Istituzioni di
Matematica presso il corso di Laurea in Chimica.
Corso di Esercitazioni in Analisi Matematica L-A per il Corso di
Laurea in Ingegneria Meccanica (referente: prof. Enrico
Obrecht).
Corso di Esercitazioni in Analisi Matematica L-B per il Corso di
Laurea in Ingegneria Meccanica (referente: prof. Enrico
Obrecht).
Corso di Esercitazioni in Istituzioni di Matematica 1 per il Corso
di Laurea in Scienze Ambientali, sede di Ravenna (referente:
prof.ssa Valeria Simoncini).
A.A. 2003/2004:
Corso di accoglienza per matricole di Ingegneria dell'Università di
Bologna.
Corso di Esercitazioni in Analisi Matematica L-A per il Corso di
Laurea in Ingegneria Meccanica (referente: prof. Enrico Obrecht).
Corso di Esercitazioni in Analisi Matematica L-B per il Corso di
Laurea in Ingegneria Meccanica (referente: prof. Enrico Obrecht).
Corso di Esercitazioni in Istituzioni di Matematica 1 per il Corso
di Laurea in Scienze Ambientali, sede di Ravenna (referente:
prof.ssa Valeria Simoncini).
A.A. 2004/2005:
Corso di accoglienza per matricole di Ingegneria dell'Università di
Bologna.
Corso di Esercitazioni in Analisi Matematica L-C per il Corso di
Laurea in Ingegneria Elettrica e delle Telecomunicazioni
(referente: prof. Enrico Obrecht).
Ciclo di Seminari rivolti agli studenti del corso di Istituzioni di
Matematica 1 per il Corso di Laurea in Scienze Ambientali, sede di
Ravenna (referente: prof.ssa Valeria Simoncini).
Ciclo di dieci ore di lezione per il corso di Alta Formazione in
Finanza Matematica - Università di Bologna (referenti: proff.
Sergio Polidoro e Andrea Pascucci).
A.A. 2005/2006:
Corso di accoglienza per matricole di Ingegneria dell'Università di
Bologna (svoltosi dal 7/09/2005 al 20/09/2005).
Ciclo di venti ore di lezione per il corso di Istituzioni di
Matematica -- Corso di Laurea in Chimica dell'Università di Bologna
(referente: prof.ssa Emanuela Caliceti).
Corso di Esercitazioni in Analisi Matematica L-C per il Corso di
Laurea in Ingegneria Elettrica e delle Telecomunicazioni
(referente: prof. Enrico Obrecht).
Ciclo di dieci ore di lezione per il corso di Alta Formazione in
Finanza Matematica - Università di Bologna (referenti: proff.
Sergio Polidoro e Andrea Pascucci).
A.A. 2006/2007:
Ciclo di dieci ore di lezione per il corso di Istituzioni di
Matematica -- Corso di Laurea in Chimica dell'Università di Bologna
(referente: prof.ssa Emanuela Caliceti).
Ciclo di dodici ore di lezione per il corso di Alta Formazione in
Finanza Matematica - Università di Bologna (referenti: proff.
Sergio Polidoro e Andrea Pascucci).
Ciclo di 90 ore (due corsi di 45 ore ciascuno) per le Attività
Professionalizzanti per il C.d.L. in Matematica (Laurea Triennale):
Approfondimenti di LaTeX.
A.A. 2007/2008:
Titolarità del Corso di Istituzioni di Matematica 2, presso il
C.d.S. in Scienze Ambientali, Ravenna (6 crediti formativi, 52 ore
di lezione).
Titolarità del Corso di Fondamenti di Matematica, presso il C.d.S.
in Tecnologia per la Conservazione ed il Restauro, Ravenna (4
crediti formativi, 32 ore di lezione).
Ciclo di dodici ore di lezione per il corso di Alta Formazione in
Finanza Matematica - Università di Bologna (referenti: proff.
Sergio Polidoro e Andrea Pascucci).
Titolarità del Corso di Analisi Armonica, presso la Laurea
Magistrale in Matematica (3 crediti formativi, 24 ore).
Ciclo di 15 ore di lezione per il Corso di Dottorato in Analisi
Armonica "Gruppi Stratificati e Teoria del Potenziale per i
sub-Laplaciani".
A.A. 2008/2009:
Titolarità del Corso di Istituzioni di Matematica 2, presso il
C.d.S. in Scienze Ambientali, Ravenna (6 crediti formativi, 52 ore
di lezione).
Titolarità del Corso di Analisi Armonica, presso la Laurea
Magistrale in Matematica (3 crediti formativi, 24 re).
A.A. 2009/2010:
Titolarità del Corso di Istituzioni di Matematica 2, presso il
C.d.S. in Scienze Ambientali, Ravenna (6 crediti formativi, 52 ore
di lezione).
Titolarità del Corso di Analisi Armonica, presso la Laurea
Magistrale in Matematica (3 crediti formativi, 24 ore).
A.A. 2010/2011:
Titolarità del Corso di Istituzioni di Matematica 2, presso il
C.d.S. in Scienze Ambientali, Ravenna (6 crediti formativi, 52 ore
di lezione).
Titolarità di un Modulo del Corso di Analisi Superiore 2, presso la
Laurea Magistrale del C.d.S. in Matematica (3 crediti formativi, 24
ore). Il corso è tenuto parallelamente (per ulteriori 24 ore di
lezione) in lingua inglese, poiché rientra nel Progetto Europeo
EU--US "Atlantis" (referente Prof.ssa Giovanna Citti).
Corso "Introduction to Stratified Lie Groups" per il Corso di
Dottorato in Matematica, Università di Bologna (30 ore).
A.A. 2011/2012:
Titolarità del Corso di Istituzioni di Matematica 2, presso il
C.d.S. in Scienze Ambientali, Ravenna (6 crediti formativi, 52 ore
di lezione).
Titolarità di un Modulo del Corso di Analisi Superiore 2, presso la
Laurea Magistrale del C.d.S. in Matematica (3 crediti formativi, 24
ore).
Lezione dal titolo "Il Teorema di Campbell-Baker-Hausdorff;
applicazioni alla costruzione di gruppi di Lie" nel ciclo "Topics
in Mathematics" 2011/2012, per gli studenti di Dottorato in
Matematica di Bologna (15 marzo 2012).
A.A. 2012/2013:
Titolarità di un modulo del Corso di Istituzioni di Matematica 2,
presso il C.d.S. in Scienze Ambientali, Ravenna (4 crediti
formativi, 32 ore di lezione).
Titolarità di un Modulo del Corso di Analisi Superiore 2, presso la
Laurea Magistrale del C.d.S. in Matematica (3 crediti formativi, 24
ore).
Attività didattica nel corso di Analisi 2 (16/20 ore), Laurea
Triennale in Matematica, Bologna (Titolare: Prof.
E.Lanconelli).
A.A. 2013/14:
Titolarità di un modulo dell'insegnamento Istituzioni di Matematica 2, presso il C.d.S. in Scienze
Ambientali, Università di Bologna, sede di Ravenna (4 crediti formativi, 32 ore).
Titolarità di un modulo dell'insegnamento Analisi Superiore 2, presso la Laurea Magistrale del
C.d.S. in Matematica, Bologna (3 crediti formativi, 24 ore).
Titolarità di un modulo dell'insegnamento Analisi Matematica T-1, presso il C.d.S. in Ingegneria Edile,
Università di Bologna, Campus di Ravenna (3 crediti formativi, 30 ore).
A.A. 2014/2015: Titolarità di un modulo dell'insegnamento Istituzioni di Matematica 2, presso il C.d.S. in Scienze Ambientali, Università di Bologna, sede di Ravenna (4 crediti formativi, 32 ore).
Titolarità di un modulo dell'insegnamento Analisi Geometrica, presso la Laurea Magistrale del
C.d.S. in Matematica, Bologna (3 crediti formativi, 24 ore).
Titolarità dell'insegnamento Analisi 1, presso il C.d.S. in Ingegneria Edile-Architettura,
Bologna (6 crediti formativi, 60 ore).
Titolarità di un modulo dell'insegnamento Analisi Matematica T-B (Modulo 2), presso il C.d.S. in Ingegneria Gestionale, Bologna (3 crediti formativi, 30 ore).
A.A. 2015/2016: Titolarità di un modulo dell'insegnamento Istituzioni di Matematica 2, presso il C.d.S. in Scienze Ambientali, Università di Bologna, sede di Ravenna (4 crediti formativi, 32 ore).
Titolarità di un modulo dell'insegnamento Analisi Geometrica, presso la Laurea Magistrale del
C.d.S. in Matematica, Bologna (3 crediti formativi, 24 ore).
Titolarità dell'insegnamento Analisi 1, presso il C.d.S. in Ingegneria Edile-Architettura,
Bologna (6 crediti formativi, 60 ore).
Titolarità di un modulo dell'insegnamento Analisi Matematica T-2 (Modulo 2), per i C.d.S. in
Ingegneria Chimica e Biochimica e Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni, Bologna (3 crediti formativi, 30 ore).
Seminario "Mean Value Formulas for degenerate-elliptic PDOs: applications to Potential Theory"
nel ciclo "Topics in Mathematics" 2015/2016, per gli studenti di Dottorato in Matematica di Bologna
(16 marzo 2016 - seminario di 2 ore).
A.A. 2016/2017:
Titolarità di un modulo dell'insegnamento Mathematical Methods for Engineering (corso in inglese), presso la Laurea Magistrale in Aerospace Engineering, Università di Bologna, sede di Forlì (3 crediti formativi, 30 ore).
Titolarità dell'insegnamento Analisi Matematica T, presso i C.d.S. in Ingegneria Civile e Ingegneria
per l'ambiente e il territorio, Bologna (9 crediti formativi, 90 ore).
Titolarità di un modulo dell'insegnamento Analisi Geometrica, presso la Laurea Magistrale del
C.d.S. in Matematica, Bologna (3 crediti formativi, 24 ore).
Titolarità di un modulo dell'insegnamento Complementi di Analisi Matematica ed Elementi di Calcolo delle Probabilità T (Modulo 2), per i C.d.S. in Ingegneria Civile e Ingegneria
per l'ambiente e il territorio, Bologna (3 crediti formativi, 30 ore).
A.A. 2017/2018:
Titolarità di un modulo (Modulo 2) dell'insegnamento Mathematical Methods for Engineering (corso in inglese), presso la Laurea Magistrale in Aerospace Engineering, Università di Bologna, sede di Forlì (3 crediti formativi, 30 ore).
Titolarità dell'insegnamento Analisi Matematica T, presso i C.d.S. in Ingegneria Civile e Ingegneria
per l'Ambiente e il Territorio, Bologna (9 crediti formativi, 90 ore).
Titolarità dell'insegnamento Complementi di Analisi Matematica M, presso la
Laurea Magistrale in Ingegneria per l'Ambiente e il Territorio e Ingegneria Chimica e di Processo, Bologna (4 crediti formativi, 32 ore).
Titolarità di un modulo dell'insegnamento Complementi di Analisi Matematica ed Elementi di Calcolo delle Probabilità T (Modulo 2), per i C.d.S. in Ingegneria Civile e Ingegneria
per l'Ambiente e il Territorio, Bologna (3 crediti formativi, 30 ore).
A.A. 2018/2019:
Titolarità di un modulo (Modulo 2) dell'insegnamento Mathematical Methods for Engineering (corso in inglese), presso la Laurea Magistrale in Aerospace Engineering, Università di Bologna, sede di Forlì (3 crediti formativi, 30 ore).
Titolarità dell'insegnamento Analisi Matematica TB, presso il C.d.S. in Ingegneria Energetica,
Bologna (6 crediti formativi, 60 ore).
Titolarità dell'insegnamento Complementi di Analisi Matematica M, presso la Laurea Magistrale in Ingegneria Chimica e di Processo, Bologna (3 crediti formativi, 24 ore).
Titolarità di un modulo del corso integrato Analisi Matematica M e Metodi Numerici per l'Ingegneria M,
per la Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronica, Bologna (3 crediti formativi, 30 ore).
Tesi di Laurea e di Dottorato:
Nell'A.A. 2011/2012 sono stato relatore della tesi di Laurea Magistrale in Matematica
La Soluzione Fondamentale per i Sub-Laplaciani sui Gruppi Nilpotenti di Passo Due' del dott. Andrea Tamagnini.
Nell'A.A. 2011/2012 sono stato relatore della tesi di Laurea Triennale in Matematica Una dimostrazione algebrica del teorema di Campbell, Baker, Hausdorff del dott. Mirko Ruffilli.
Nell'A.A. 2012/2013 sono stato relatore della tesi di Laurea Magistrale in Matematica Famiglie Normali di Funzioni Armoniche per Operatori Subellittici della dott.ssa Erika Battaglia.
Nell'A.A. 2012/2013 ho collaborato alla tesi di Dottorato in Matematica della dott.ssa Beatrice Abbondanza (XXVI Ciclo, Bologna).
Nell'A.A. 2012/2013 sono stato relatore della tesi di Laurea Triennale in Matematica Dipendenza dai Dati per Equazioni Differenziali Ordinarie del dott. Tommaso Zamagni.
Nell'A.A. 2013/2014 sono stato relatore della tesi di Laurea Triennale in Matematica dello studente Francesco di Fabio; tesi Alcuni risultati sulla convergenza in misura.
Nell'A.A. 2013/2014 sono stato relatore della tesi di Laurea Triennale in Matematica dello studente Stefano Murtagh; tesi Trasformata e antitrasformata di Fourier per funzioni sommabili e applicazioni.
Nell'A.A. 2013/2014 sono stato correlatore della tesi di Laurea Triennale in Matematica dello studente Righini Alberto; tesi Funzioni a variazione limitata e funzioni assolutamente continue.
Nell'A.A. 2014/2015 sono stato relatore della tesi di Laurea Magistrale in Matematica del dott. Mirko Ruffilli; tesi Stime Integrali su Gruppi di Tipo H e Principio Forte di Continuazione Unica.
Nell'A.A. 2014/2015 sono stato correlatore della tesi di Laurea Triennale in Matematica della studentessa Annachiara Bartolini; tesi La teoria dei numeri transfiniti nei suoi aspetti matematici e filosofici.
Nell'A.A. 2015/2016 sono stato relatore della tesi di Laurea Magistrale in Matematica della studentessa Sara Chiappelli; tesi Applicazione ai gruppi di Lie della prolungabilità per Equazioni Differenziali Ordinarie.
Nell'A.A. 2016/2017 sono stato relatore della tesi di Dottorato in Matematica del dott. Stefano Biagi (XXVII Ciclo, Bologna).
Nell'A.A. 2016/2017 sono stato relatore della tesi di Dottorato in Matematica della dott.ssa Erika Battaglia (XXVIII Ciclo, Bologna).
Nell'A.A. 2016/2017 sono stato relatore della tesi di Laurea Magistrale in Matematica della studentessa Stefania Perugini; tesi Costruzione di gruppi di Lie con tecniche di Equazioni Differenziali Ordinarie.
Attività scientifico-didattica non Accademica:
-- Per dodici Anni Accademici (dal 1999/2000 al 2009/10 e nell'A.A.
2011/12) ho svolto una collaborazione con C.E.U.R. ("Centro Europeo
Università e Ricerca") per il Tutorato in Analisi Matematica per
studenti di Ingegneria e Scienze MM.FF.NN. presso le Residenze
Universitarie di Eccellenza "Alma Mater" e "San Felice" di Bologna.
Questa duratura esperienza è stata per me di grande interesse sia
didattico sia professionale poiché, potendo seguire studenti
inquadrati in una struttura di "eccellenza", mi ha permesso di
svolgere attività didattica con un gruppo di discenti che
affrontano lo studio della Matematica con fortissima motivazione e
interesse, soprattutto verso gli aspetti formativi della Matematica
per la loro futura esperienza lavorativa.
-- Da giugno 2008 a settembre 2010 ho svolto un'attività volontaria
di sostegno presso l'Istituto per non vedenti "F. Cavazza" di
Bologna, per la didattica della Matematica in presenza di
diversa-abilità visiva. Questa esperienza mi ha permesso di entrare
in contatto con lo speciale apprendimento dell'Algebra e, in
particolare, della Geometria, da parte dello studente
non-vedente.
-- Da settembre 2010 a maggio 2012 ho collaborato con la Casa
Editrice Zanichelli di Bologna come editor e revisore nel Progetto
"MATutor" (per la realizzazione di materiale editoriale e strumenti
multimediali per lo studio della Matematica nella Scuola Secondaria
Superiore), e sono tra i revisori e tra i realizzatori di testi ed
esercizi per il libro "MATutor per la quinta Liceo Scientifico" [M.
Bergamini, G. Barozzi, Zanichelli, Bologna (2012)].
Partecipazione scientifica a Progetti di Ricerca:
--Partecipante al progetto di ricerca Europeo ITN-607643 - M.A.N.E.T. (Metric Analysis for Emergent Technologies). Responsabile: Prof.ssa G. Citti (marzo 2014 - febbraio 2018).
--Membro del Progetto di Ricerca GNAMPA-INdAM 2016: Existence and non-existence problems for global solutions to linear and non-linear PDEs in sub-Riemannian settings (21/3/2016--2017).
Coordinatore: Prof.ssa A. Kogoj.
--Durante l'A.A. 2013/14 sono stato responsabile della proposta accettata e finanziata per un progetto di ricerca di tipo Senior Fellowship da parte di I.S.A. (Istituto di Studi Avanzati) di Bologna (dal 1-4-2014 al 30-6-2014), per un soggiorno di tre mesi del Prof. Jacob Katriel (Technion - Israel Institute of Technology).
--Membro del Comitato Organizzatore per il Convegno Geometric methods in PDE's, INDAM Meeting on the occasion of the 70th birthday of Ermanno Lanconelli; Cortona 27--31/5/2013.
--Partecipante al Progetto R.F.O. 2013 (Ricerca Fondamentale Orientata). Coordinatore: Prof. B. Franchi.
--Coordinatore scientifico del Progetto G.N.A.M.P.A. 2012,
"Equazioni alle Derivate Parziali Lineari e non-Lineari in Contesti
sub-Riemanniani" (durata 12 mesi -- giugno 2012/maggio 2013).
--Membro del Programma P.R.I.N. 2009 (Programmi di Ricerca
Scientifica di Rilevante Interesse Nazionale). Titolo: "Equazioni
di diffusione in ambiti sub-riemanniani e problemi geometrici
associati". Coordinatore: Prof. I. Capuzzo Dolcetta, Responsabile
scientifico: Prof. E. Lanconelli; Ateneo: Università degli Studi di
Bologna, protocollo: 2009KNZ5FK 005.
--Membro del Programma P.R.I.N. 2007 (Programmi di Ricerca
Scientifica di Rilevante Interesse Nazionale). Titolo: "Equazioni
subellittiche e problemi geometrici associati". Coordinatore: Prof.
I. Capuzzo Dolcetta, Responsabile scientifico: Prof. E. Lanconelli;
Ateneo: Università degli Studi di Bologna, protocollo: 2007WECYEA
003.
--Partecipante al Progetto R.F.O. 2010 (Ricerca Fondamentale
Orientata). Coordinatore: Prof. B. Franchi.
--Membro del Progetto G.A.L.A. (Geometrical Analysis in Lie groups
and Applications). Coordinatore: Prof.ssa G. Citti. STREP EU-FP6;
periodo: settembre 2006-2009.
--Membro del Progetto A.G.A.P.E. (Analysis in Lie Groups and
Applications to Perceptual Emergences). Coordinatore: Prof.ssa G.
Citti. Progetto finanziato dall'Università di Bologna; marzo 2011
(durata 5 anni).
--Membro del Progetto Giovani Ricercatori 1998. Titolo: "Moto per
curvatura di Levi di ipersuperfici reali in C^n". Responsabile del
progetto: Prof.ssa A. Montanari; Finanziato nel E.F. 1998.
--Membro del Progetto Giovani Ricercatori 1999. Titolo: "Equazioni
differenziali degeneri non ipoellittiche in finanza matematica".
Responsabile: Prof. A. Pascucci; finanziato nel E.F. 1999.
--Responsabile del Progetto Giovani Ricercatori 2000. Titolo:
"Disuguaglianza di Harnack e teoremi di esistenza per una classe di
equazioni non lineari con forma caratteristica semidefinita
positiva" finanziato nel E.F. 2000.
Seminari e Convegni:
1) 12 ottobre - 3 dicembre 2000: Ho collaborato
all'organizzazione dell'evento "Matematica, Arte e Tecnologia"
(Bologna, 2000), patrocinato dall'U.M.I. durante l'Anno Mondiale
della Matematica (in particolare alla mostra "Matematica, Arte e
Tecnologia: da Escher alla computer graphics" del cui catalogo sono
stato co-editore).
2) Ho tenuto il Seminario intitolato Liouville-type theorems for
sub-Laplacians on Carnot groups and applications, durante il
convegno "Liouville Theorems in Riemannian and Sub-Riemannian
settings", Bologna, 23-24 novembre 2006, Dipartimento di
Matematica.
3) Ho tenuto il seminario intitolato Some Results on Convex
Functions on Carnot Groups: Lifting and Gauge-Functions, durante il
convegno "Viscosity, metric and control theoretic methods in
nonlinear PDE's: analysis, approximations, applications", Roma, 3-5
settembre 2008, La Sapienza.
4) Seminar "Subharmonic functions in sub-Riemannian settings: Characterizations of subharmonicity", Pisa, February 22nd 2012, during the "A one day workshop on Symmetry, Subharmonicity and Nonsmooth Vector Fields", Department of Mathematics, Pisa University.
5) Seminar "Gruppi di Lie associati ad alcune classi di operatori di Hörmander", Dept. of Mathematics, Padova University (February 21st 2013), during the "Seminario di Equazioni Differenziali e Analisi Complessa".
6) Talk "Infinito in Matematica: Alcune suggestioni", Dept. of Mathematics, Bologna University (April 12th 2013), during the "Giornata Matematica per gli studenti Liceo Righi".
7) Talk "L'Infinito in Matematica", during the "Convegno Scientifico sul P.L.S.", Città della Scienza, Naples, December 12th-13th 2013.
8) Talk "Maximum principles and Harnack inequality for divergence-form hypoelliptic operators" (June 25th 2014), during the Conference "CR Geometry and PDEs - VI" (June 23-27, 2014, Levico Terme, Trento, Italy).
9) From September 7th, to October 3rd, 2014: Invitation to the Trimester "Geometry, Analysis and Dynamics on Sub-Riemannian Manifolds" (September 1st - December 12th, Paris, 2014) at the Institut Henri Poincaré (I.H.P.), Paris.
10) Talk: "Maximum principle and Harnack inequality for hypoelliptic degenerate non-Hörmander operators" (September 10th, 2014), at the Institut Henri Poincaré (I.H.P.) in Paris, for the seminars "Séminaire de géométrie sous-Riemannienne", during the Trimester "Geometry, Analysis and Dynamics on Sub-Riemannian Manifolds".
11) Invited speaker: talk "The Harnack inequality and the fundamental solution for some classes of subelliptic operators" (4 ottobre 2017), durante il Workshop "Analysis and PDE" (4--6 ottobre 2017, Leibniz Universit\"at -- Hannover).
12) Invited speaker: talk "Potential Theory results for a class of PDOs admitting a global fundamental solution" (11 aprile 2016), durante il Convegno "Noncommutative Analysis and Partial Differential Equations" (11--15 aprile 2016, Imperial College London UK- London).
Seminari dipartimentali:
[(i)] Gruppi di Carnot associati a campi vettoriali, Seminario di
Analisi Matematica, 15 gennaio 2002, Dipartimento di Matematica,
Bologna.
[(ii)] Un teorema di Liouville non lineare sui semispazi dei gruppi
di passo due, Seminario di Analisi Matematica, 25 febbraio 2003,
Dipartimento di Matematica, Bologna.
[(iii)] La formula di Taylor sui gruppi omogenei e applicazioni,
Seminario di Analisi Matematica, 6 marzo 2008, Dipartimento di
Matematica, Bologna.
[(iii)] I teoremi di Campbell, Baker, Hausdorff e Dynkin. Storia,
prove, problemi aperti, Seminario di Analisi Matematica, 20 maggio
2010, Dipartimento di Matematica, Bologna.
[(iv)] Gruppi di Lie associati ad alcune classi di operatori di H\"ormander, Dipartimento di Matematica, Università di Padova (21 febbraio 2013), relativamente al Seminario di Equazioni Differenziali e Analisi Complessa''.
[(v)] Seminario: Algebras of complete Hörmander vector fields, and Lie-group construction,
Seminario di Analisi Matematica, 27 marzo 2014, Dipartimento di Matematica, Bologna.
[(vi)] Seminario: Mean Value Formulas for degenerate-elliptic PDOs: applications to Potential Theory,
Seminari Topics in Mathematics, 16 marzo 2016, Dipartimento di Matematica, Bologna.
Breve descrizione delle singole pubblicazioni:
Nel lavoro [1], dopo aver ricavato delle formule integrali di
media relative al sub-Laplaciano L su un gruppo di Carnot per la
rappresentazione di funzioni regolari (simili alle classiche
formule di media per il Laplaciano ordinario), viene provata una
disuguaglianza che generalizza e riunisce i classici Teoremi di
Liouville e Harnack per il caso dei sub-Laplaciani L. Viene esibita
inoltre una formula di rappresentazione per funzioni u per le quali
L u è un polinomio. Come conseguenza, sono fornite alcune
condizioni che assicurano che u è una funzione polinomiale
ogniqualvolta L u è un polinomio. Per finire, si dà un'applicazione
di questi risultati: se f è un'applicazione C^2 che commuta con L,
allora ciascuna delle sue componenti è un polinomio. Questi
risultati sono ottenuti con metodi diretti a partire dalle citate
formule di media.
Nel lavoro [5] vengono generalizzati al caso dei
sub-Laplaciani L sui gruppi stratificati G alcuni rilevanti
risultati della classica Teoria del Potenziale, con particolare
riguardo allo studio delle funzioni L-subarmoniche. Un ruolo
rilevante rivestono i teoremi di caratterizzazione e di
rappresentazione per funzioni L-subarmoniche su G: a tale proposito
vengono fornite generalizzazioni del classico Teorema di
Rappresentazione di Riesz e della Formula di Poisson&Jensen
(poi ripresa in [13]). Viene inoltre sviluppata un'opportuna teoria
di Nevanlinna per i sub-Laplaciani. Questi risultati rivestono un
ruolo fondamentale ad esempio nella prova dei Principi del Massimo
per L su aperti non limitati (si veda [3]).
Nel lavoro [3], viene data un'applicazione significativa alla
Teoria del Potenziale introdotta in [5]: viene infatti stabilito il
Principio del Massimo su una vasta classe di aperti non-limitati.
Negli ultimi anni, grande interesse è stato dato al Principio del
Massimo su aperti non limitati per le soluzioni della
disuguaglianza differenziale $\Delta u +c u\geq 0$ (ove $\Delta$ è
il Laplaciano classico in R^N, N\geq 3, e c è una funzione reale
non positiva). Tale principio gioca un ruolo cruciale nella ricerca
di proprietà di simmetria per le soluzioni delle equazioni di
Poisson semilineari, mediante i ben noti metodi dei piani mobili o
dello sliding. Nel caso classico, questo risultato viene di solito
dimostrato mediante l'uso di opportune funzioni barriera su coni.
In [3], si mostra come generalizzare al caso dei sub-Laplaciani
tale risultato, senza ricorrere all'uso di funzioni barriera, ma
solo grazie a opportuni argomenti di Teoria del Potenziale, già
sviluppati nei lavori [1, 5] (in particolare, viene utilizzato il
concetto di dominio sottile all'infinito). Questi Principi del
Massimo su semispazi costituiscono altresì un punto di partenza
nello studio del comportamento asintotico di funzioni
L-subarmoniche non limitate superiormente su G (teoremi di tipo
Phragmén-Lindelöf). Analogamente al caso del Laplaciano classico,
questi comportamenti asintotici sembrano avere importanti legami
con problemi agli autovalori associati all'operatore L ristretto al
bordo del disco unitario.
Nei lavori [2] e [22] fornisco generalizzazioni ed
alcune applicazioni della cosiddetta Formula di Pizzetti: questa
formula (legata alla Teoria del Potenziale per il Laplaciano)
fornisce un'espressione della media integrale su un disco D(x,R) di
una funzione regolare come serie di potenze (in R) i cui
coefficienti sono gli iterati del Laplaciano (valutati in x). Le
generalizzazioni che ho ottenuto si riferiscono dapprima al
Laplaciano di Kohn Delta_H e poi ad un generico sub-Laplaciano
"ortonormale" \mathcalL sui gruppi di tipo H. Le formule ottenute
presentano sorprendenti analogie con quella classica, accanto ad
alcune novità dovute alle strutture "sub-ellittiche" di Delta_H e
L: oltre alle potenze successive di Delta_H o L, compaiono le
potenze della derivata "commutatoriale" $\partial_t$ (o
$\partial_t_1,...,\partial_t_n$, ove i t_j denotano le coordinate
del secondo strato della stratificazione del gruppo di tipo H).
Mediante la Formula di Pizzetti, si prova poi molto semplicemente
che le uniche funzioni poliarmoniche non negative sono funzioni
polinomiali.
Nei lavori [10,12] viene iniziato lo studio di una certa classe di
operatori di tipo parabolico sui gruppi di Carnot. Alcuni di questi
risultati sono di carattere essenzialmente geometrico, anche se
l'approccio è analitico. In [10] si affronta il
delicato problema dell'equivalenza a meno di diffeomorfismi fra i
vari sub-Laplaciani su un gruppo G, dando una risposta affermativa
a tale equivalenza nel caso in cui l'algebra di G sia libera e
presentando un controesempio nel caso contrario. Questo consente,
nel caso libero, di rappresentare le soluzioni fondamentali dei
sub-Laplaciani su G (e dei loro associati operatori del calore) in
un modo "unitario", più precisamente in termine della soluzione
fondamentale di un operatore modello. Ciò apre la strada per
ottenere stime uniformi delle soluzioni fondamentali di tutti i
sub-Laplaciani su G.
Per potere trattare il caso di un gruppo G non libero, in
[12] si introduce poi una tecnica di Lifting, ispirata ai famosi
risultati di Rothschild&Stein, che permette di ricondursi al
caso libero. In [12] viene inoltre data una dettagliata
presentazione dei gruppi di Carnot (poi estesa nella monografia
[20]) che si sforza di essere accessibile ai non specialisti. In
particolare viene fornita una utile caratterizzazione di tali
gruppi (mediante la nozione di gruppo di Carnot omogeneo). In
queste problematiche giocano un ruolo fondamentale le proprietà
delle mappe esponenziali sui gruppi di Lie ed in particolare la
formula di Campbell-Baker-Hausdorff (si vedano anche [9, 20,
27]).
Facendo uso dei risultati provati in [10, 12], nel lavoro [4]
si affronta il problema delle stime uniformi delle soluzioni
fondamentali di una importante famiglia di sub-Laplaciani. Seguendo
la linea dei precedenti lavori, viene fornita innanzitutto una
prova diretta dell'esistenza e delle principali proprietà delle
soluzioni fondamentali Gamma per i citati operatori del calore
L-d/d_t su G. In particolare vengono dimostrate in modo diretto,
con metodi di confronto, stime gaussiane di Gamma. Si mostra poi
che tali stime sono uniformi al variare dell'operatore in opportune
classi, facendo uso dei risultati di [10, 12] ed attraverso metodi
di saturazione. Infine si ottengono "stime hölderiane uniformi" per
Gamma e per le sue derivate.
Tali stime consentono, nel lavoro [11] (si veda anche
[6]), di adattare il metodo della parametrice di Levi alla
costruzione della soluzione fondamentale per un operatore a
coefficienti hölderiani in forma di non-divergenza, "parabolico"
rispetto ai campi vettoriali del sub-gradiente di G. Con una
integrazione nella variabile temporale, si costruisce poi una
soluzione fondamentale locale per il corrispondente operatore di
tipo "ellittico" (sempre rispetto ai suddetti campi). Questo è reso
possibile da opportune stime per tempi lunghi, che risultano
particolarmente delicate e vengono ottenute in [11] modificando i
coefficienti dell'operatore fuori da un insieme compatto. Gli
operatori studiati in [11] trovano applicazioni in svariati campi.
In particolare intervengono nella linearizzazione di equazioni
ellittiche degeneri totalmente nonlineari quali l'equazione della
curvatura di Levi.
Nel lavoro [18] si continua lo studio degli operatori in
forma di non-divergenza trattati in [11]. In particolare si provano
stime puntuali dal basso per le loro soluzioni fondamentali,
vengono studiate alcune proprietà delle relative funzioni di Green
su domini cilindrici e finalmente si ottiene una disuguaglianza di
Harnack invariante. Tale disuguaglianza viene ottenuta, a partire
dai risultati in [4,10,12,11], seguendo alcune idee di
Krylov&Safonov e di Fabes&Stroock insieme ad alcuni non
banali argomenti di approssimazione. In particolare si sfrutta il
fatto di poter ben approssimare arbitrari domini cilindrici con
domini regolari per il problema di Dirichlet e di poter ottenere
buone stime per le funzioni di Green su tali domini
approssimanti.
Il lavoro [14] è in linea con la trattazione sistematica seguita in
[4,10,12] e contiene fra l'altro alcuni raffinamenti di risultati
ottenuti in [4], relativi al problema di Cauchy per operatori del
calore su G. In [14] viene infatti provata una formula di tipo
Poisson&Stieltjes che consente di ottenere una
caratterizzazione delle funzioni L-caloriche non-negative
attraverso opportune formule di rappresentazione. Vengono poi
forniti dei teoremi di tipo Fatou e dei teoremi di unicità analoghi
ai risultati provati da Kato per l'equazione del calore classica.
Di notevole interesse per lo studio di alcuni operatori non lineari
è lo studio della convessità orizzontale (h-convessità) nei gruppi
di Carnot. Ho provato alcuni risultati sulla h-convessità nel
lavoro [23]. Infatti, sia G un gruppo di Carnot di passo r e m
generatori e di dimensione omogenea Q. Sia F il gruppo di Lie
libero di passo r e m generatori. Sia inoltre f:F-->G una mappa
di lifting. In [23] viene dimostrato che ogni funzione h-convessa u
on G si lifta ad una funzione h-convessa u(f) su F (rispetto ad un
opportuno frame orizzontale su F). Un altro scopo dello stesso
lavoro è di esibire un esempio di sub-Laplaciano L=\sum_{j=1}^m
X_j^2 su di un gruppo di Carnot di passo due tale che la relativa
funzione L-gauge d (i.e., d^(2-Q) è la soluzione fondamentale per
L) non sia h-convessa rispetto al frame orizzontale
X_1,...,X_m. Questo fatto fornisce una risposta negativa ad una
questione recentemente posta da Danielli, Garofalo e Nhieu.
Ulteriori risultati sulla h-convessità sono infine forniti: ad
esempio, esibisco una classe di mappe su Gche preservano la
convessità orizzontale.
Sullo studio della h-convessità siamo recentemente tornati nel
lavoro [30]. Una nota caratterizzazione delle usuali funzioni
convesse in R^N assicura che una funzione superiormente
semicontinua u è convessa se e solo se u(Ax) è
subarmonica (rispetto al classico operatore di Laplace) per ogni
matrice simmetrica definita-positiva A. In [30] viene dimostrato
che un risultato analogo, mutatis mutandis, vale nel caso di gruppi
di Carnot liberi G, quando si considera la convessità in senso
viscoso di Lu, Manfredi e Stroffolini. Nel caso subellittico dei
gruppi di Carnot, le applicazioni lineari x-->Ax del caso
Euclideo devono essere rimpiazzate da opportuni isomorfismi di
gruppo x-->T_A(x), il cui differenziale preserva il primo
strato della stratificazione dell'algebra di G. Nell'ulteriore
lavoro, [34], viene estesa la caratterizzazione di Dudley delle
funzioni convesse: precisamente si dimostra che ogni
distribuzione con matrice Hessiana orizzontale non negativa è
associata ad una funzione h-convessa.
Nel lavoro [8] (si veda anche la nota preventiva [7] e
il seminario [40]) vengono dimostrati alcuni teoremi di tipo
Liouville nonlineari su gruppi stratificati di passo due e in
particolare su gruppi di tipo H (una notevole sottoclasse di gruppi
di Carnot introdotta da Kaplan). Tali risultati sono inquadrati in
un progetto che mira, attraverso un'analisi di blow-up e tecniche
variazionali, ad ottenere risultati di esistenza per problemi
semilineari su gruppi di Carnot. I risultati in [8] migliorano un
recente teorema di Garofalo&Vassilev, utilizzando tecniche
differenti dalle loro, ma ispirate a quelle introdotte in alcuni
lavori di Lanconelli&Uguzzoni e di Uguzzoni. Una delle maggiori
difficoltà in [8] è dovuta alla non compattezza dell'insieme dei
punti caratteristici dei domini considerati, che rende
particolarmente delicata la costruzione di barriere esplicite. In
[8] viene infine fornita una caratterizzazione dei gruppi di tipo
H, utile in un contesto analitico. Essa in particolare consente di
scrivere in modo "esplicito" l'espressione dei sub-Laplaciani su
tali gruppi, permettendo fra l'altro la costruzione delle
menzionate barriere.
Una parte notevole della mia attività scientifica è dedicata alla
Teoria del Potenziale per operatori subellittici: oltre ai già
citati [1, 3, 5], lo studio di Teoria del Potenziale viene
proseguito in [13, 15, 16, 17, 19, 33, 35, (iv)]. Nel lavoro
[16] si provano alcuni principi di massimo debole e di propagazione
dei massimi, per soluzioni intrinseche di disuguaglianze
differenziali strutturate su campi vettoriali. La principale novità
rispetto ai risultati preesistenti, sta nella debole regolarità
richiesta alla soluzione, che può non essere differenziabile in
senso classico ma solo lungo le curve integrali dei campi
vettoriali considerati. I risultati provati in [16] si applicano in
particolare agli operatori in forma di non-divergenza sopra
considerati e vengono utilizzati nei lavori [11,18].
Il lavoro [13] migliora un precendente risultato in [5]: viene
infatti fornita la prova della cosiddetta Formula di
Poisson&Jensen per un sub-Laplaciano nel caso di domini
limitati arbitrari, senza alcuna ipotesi di regolarità rispetto
all'associato problema di Dirichlet. A tal fine occorre sviluppare
in dettaglio una teoria della Capacità e della Polarità rispetto ai
sub-Laplaciani. Tale teoria è fornita in [13] in modo
essenzialmente self-contained, a partire dai risultati in [5] (si
veda anche [20]).
In [15], viene ulteriormente sviluppata la teoria della capacità
per L già introdotta in [13] e, a partire da essa, si ottiene una
teoria fine dell'Energia associata a L. L'approccio seguito è nello
spirito dei lavori [3, 5, 13], in cui si mostra come ripercorrere
molti dei metodi classici di Teoria del Potenziale anche nel caso
non euclideo dei gruppi stratificati. Come applicazione
significativa della teoria dell'energia, viene esibita una prova
semplice e diretta della Quasi-Continuità delle funzioni
subarmoniche rispetto ad un sub-Laplaciano. Queste proprietà fini
di regolarità sono di grande interesse nella letteratura
recente.
Nel lavoro [17], denotando con L un sub-Laplaciano su un gruppo
stratificato G, si studia il problema di Dirichlet per L con dati
al bordo di classe L^p, su domini Omega che sono "contraibili"
rispetto alle dilatazioni di G. Una delle maggiori difficoltà che
si è incontrata è la presenza di punti di bordo non regolari per
l'usuale problema di Dirichlet relativo ad L. Anche in questo
articolo si segue un approccio potenzial-teoretico. I risultati
principali vengono poi applicati allo studio di una opportuna
nozione di "Spazi di Hardy" relativi ad L.
Nel lavoro [19] (e nel seminario [41]), sono provati i
seguenti risultati di Teoria del Potenziale per i sub-Laplaciani.
Sia L=\sum_{i=1^m} X_i^2 un sub-Laplaciano su un gruppo di Carnot G
e si denoti con nabla_L=(X_1,...,X_m) il gradiente intrinseco
relativo a L. Vengono analizzate alcune caratteristiche delle
cosiddette funzioni L-gauge su G, i.e., le funzioni omogenee d tali
che L(d^gamma)=0 in G-{0}, per qualche gamma numero reale non
nullo. Vengono altresì considerate le relazioni che intercorrono
tra le funzioni L-gauge con: l'equazione L-Eikonale
|\nabla_L u|=1 in G; le Formule di Media per le funzioni
L-armoniche; la soluzione fondamentale per L; i teoremi di
tipo Bôcher di rimozione di singolarità per funzioni L-armoniche
non negative negli aperti "puntati" Omega-{x_0}.
Strutture più generali dei gruppi di Carnot vengono considerate nei
lavori seguenti: i gruppi omogenei (si veda [21]) e i gruppi non
nilpotenti su R^N che si possono costruire a partire da certi campi
vettoriali di tipo Hörmander (si vedano [24, 25, 29]).
Nell'articolo [21] (e nel seminario [42]), ho
dimostrato, sui gruppi omogenei (nel senso introdotto da
Folland&Stein), l'analogo della formula di Taylor (con resto
integrale) e la cosiddetta disuguaglianza di Taylor, migliorando un
risultato di Folland del 1982. Ho inoltre fornito alcune
applicazioni della formula di Taylor. Una prima applicazione
riguarda la L-armonicità dei polinomi di Taylor di una funzione
L-armonica, quando L è un operatore omogeneo invariante a sinistra
su un gruppo omogeneo (questo risultato si applica per ottenere le
stime di Schauder relative ad L). Un'altra applicazione riguarda
invece risultati di reale analiticità per funzioni le cui derivate
(nel senso dell'algebra di Lie) verificano alcune stime di
crescita.
Motivato dallo studio sistematico dei gruppi stratificati e dei
loro sub-Laplaciani, in [9] fornisco un metodo costruttivo ed
esplicito per costruire gruppi di Carnot a partire da un set di
campi vettoriali su R^N verificanti semplicissime ipotesi
strutturali (risultati ancora più generali sono provati in [24, 25,
29]). Vengono inoltre esibiti svariati esempi non banali. Tale
metodo costruttivo è basato sull'uso delle mappe esponenziali
naturalmente associate a questi set di campi vettoriali e ad un
utilizzo accurato della famosa formula di Campbell-Baker-Hausdorff.
Di tale formula, nel caso di campi vettoriali stratificati, viene
anche fornita una prova (si veda anche [26]).
Nei lavori [24, 25, 29], ritorno sul problema sollevato in
[9]: più esplicitamente, se L=\sum_{j=1^m} X_j^2+X_0 è un
operatore di Hörmander in R^N, vengono fornite condizioni
necessarie e sufficienti sugli X_j per l'esistenza di una struttura
di gruppo di Lie G=(R^N,*), non necessariamente nilpotente, tale
che L è invariante a sinistra su G. Il caso di campi vettoriali
omogenei è investigato in [25], ove queste condizioni necessarie e
sufficienti prendono una forma ancora più semplice. Inoltre
viene investigata l'esistenza di una soluzione fondamentale globale
Gamma per L, fornendo altresì risultati che assicurano alcune buone
proprietà di invarianza per traslazione a sinistra di Gamma. Esempi
di operatori L ai quali i citati risultati si applicano comprendono
quelli che sono chiamati, nella letteratura recente, operatori di
tipo Kolmogorov-Fokker-Planck, di tipo Mumford e di tipo
Ornstein-Uhlenbeck. Stiamo attualmente ottenendo condizioni
necessarie e sufficienti minimali per rispondere alla questione di
cui sopra, si veda il preprint [(iii)].
I sopra citati operatori di evoluzione sono investigati in
dettaglio nel lavoro [31]. Qui vengono forniti esempi di notevole
importanza applicativa di operatori ai quali si può associare una
struttura invariante come descritto in [29]: questi esempi vengono
principalmente dall'esponenziale di matrici reali o complesse, e
altresì da ODE lineari a coefficienti costanti. Si mostra inoltre
come combinare assieme questi gruppi per ottenere nuove strutture e
operatori, anch'essi di interesse applicativo (operatori evolutivi
di tipo Kolmogorov, operatori degeneri di tipo Ornstein-Uhlenbeck
con coefficienti periodici dipendenti dal tempo.
La monografia [20] raccoglie ed approfondisce risultati
introduttivi (ma anche di ricerca attuale) riguardanti lo studio
dei gruppi di Carnot, con particolare cura nel fornire tutti quei
risultati che vengono spesso bypassati in letteratura. Oltre ad una
dettagliata introduzione sui gruppi omogenei e sui gruppi
stratificati (contenente anche lo studio degli aspetti algebrici e
geometrico-differenziali di tali strutture), vengono trattati anche
aspetti analitici, quali lo studio della soluzione fondamentale dei
sub-Laplaciani, le relative formule di media e la disuguaglianza di
Harnack. Per mezzo di questi risultati e di alcuni di Teoria
Astratta del Potenziale, viene poi sviluppata gran parte della
Teoria del Potenziale per i sub-Laplaciani con particolare riguardo
a: capacità, polarità, energia, lo studio del problema di Dirichlet
nel senso di Perron-Wiener-Brelot, regolarità di punti di
frontiera, formule di rappresentazione di tipo Riesz o
Poisson-Jensen, il criterio di Wiener, singolarità isolate (teoremi
di tipo Bôcher), lo studio della funzione di Green per aperti
arbitrari, potenziali di misure, Principi del Massimo su aperti
limitati e non, sottigliezza e topologia fine, ecc...
La monografia [27] (si veda anche l'estratto in [43]) esplora un
risultato cruciale per comprendere background algebrico e
geometrico-differenziale soggiacente ai gruppi di Lie (non
necessariamente stratificati). Questa monografia è dedicata a uno
dei più importanti e significativi risultati sui gruppi di Lie,
cioè la formula che porta i nomi di Campbell, Baker,
Hausdorff e Dynkin (che nel seguito ricorderemo brevemente come il
Teorema di CBHD). È possibile approcciare lo studio di questa
formula e la sua dimostrazione sia con metodi di Algebra (strutture
algebriche astratte, calcolo tensoriale, serie formali non
commutative), sia di Analisi (teoria delle ODE), sia di Geometria
Differenziale (gruppi di Lie e mappa esponenziale). Una esposizione
unitaria e self-contained di tutti questi differenti approcci è
contenuta nella monografia [27]. Sembra interessante osservare che
uno dei primi a fornire una prova di un teorema di tipo CBHD per i
cosiddetti gruppi continui di trasformazioni sia stato l'italiano
Ernesto Pascal nel 1902 (prima, dunque, dello stesso Hausdorff): di
questa indagine puramente storiografica mi sto occupando
nell'imminente preprint [(vi)]. Di carattere storiografico è
anche il lavoro [32]: qui viene fornita una esaustiva esposizione
dei primi contributi al Teorema di CBHD, nel lasso temporale
1890--1950. Vengono riscoperti, investigati e confrontati i lavori
di Schur, Poincaré, Pascal, oltre a quelli più noti di Campbell,
Baker, Hausdorff, e Dynkin. Al fine di riportare pienamente alla
luce i lavori originali, molti dettagli matematici vengono
presentati. In particolare, viene riportata alla luce una serie di
cinque articoli, ormai completamente dimenticati, di Ernesto Pascal
(Lomb Ist Rend, 1901--1902), oggetto del citato imminente lavoro
[(vi)].
Di alcuni problemi squisitamente algebrici legati al Teorema di
CBHD, ci siamo occupati nel lavoro [28]. Qui viene dimostrato
che il classico teorema di Poincaré, Birkhoff, Witt (PBW, in breve)
e quello di CBHD possono essere dimostrati l'uno tramite l'altro.
L'uso del Teorema di PBW è uno degli ingredienti classici per
affrontare la prova di CBHD (risalente al trattato di Bourbaki).
Invece, nel dimostrare la dipendenza di PBW da CBHD, si possono
usare alcune idee in un lavoro di P. Cartier del 1956, lasciate
parzialmente non dimostrate e che in [28] vengono riprese in
dettaglio. In particolare, viene chiarito il ruolo essenziale delle
algebre di Lie libere nel dimostrare l'interdipendenza dei Teoremi
di PBW e CBHD. Sempre relativamente allo studio del Teorema di
CBHD, nel lavoro [26] viene nuovamente investigato il problema di
fornire condizioni sufficienti affinché l'operatore di Hörmander
\sum_{j=1^m} X_j^2+X_0 sia invariante a sinistra su un gruppo di
Lie.
In [26] si descrive il modo "esplicito" di costruire tale gruppo
(non necessariamente nilpotente né omogeneo): lo strumento
essenziale è appunto una formula di tipo CBHD relativa ad un
problema di EDOnaturalmente associato al sistema di campi
vettoriali X_0,...,X_m. In questo articolo si fornisce una prova
diretta di questa formula nel contesto delle EDO (che sembrava
mancare in letteratura), senza invocare nessun risultato di teoria
dei gruppi di Lie, né tutto il "macchinario" algebrico astratto che
c'è dietro la classica formula di CBHD. Vengono altresì forniti
espliciti esempi di operatori di interesse applicativo a cui si
applicano i nostri risultati.
Le mie investigazioni di Teoria del Potenziale sono continuate nei
recentissimi articoli [33, 35, (i)], ove vengono studiati operatori
molto più generali dei sub-Laplaciani sui gruppi stratificati. In
[35], viene fornita una piena caratterizzazione delle funzioni
subarmoniche rispetto a operatori differenziali lineari del
secondo ordine L con forma caratteristica non negativa, dotati di
una soluzione fondamentale positiva Gamma. Queste caratterizzazioni
sono basate sull'uso di opportuni operatori di media integrali M_r
sugli insiemi di livello di Gamma. Vengono anche considerate
caratterizzazioni asintotiche che estendono classici risultati di
Blaschke, Privaloff, Radó, Beckenbach, Reade e Saks. Analizziamo
anche la nozione di funzione subarmonica nel senso debole delle
distribuzioni, e mostriamo come approssimare funzioni subarmoniche
con funzioni subarmoniche C^\infty. Gli operatori considerati in
[35] comprendono come casi molto particolari i sub-Laplaciani sui
gruppi di Carnot.
Nell'articolo [33] si prosegue la strada tracciata in [35],
considerando operatori C^\infty-ipoellittici L come sopra. Vengono
studiati i seguenti problemi: la positività del nucleo associato a
M_r (proviamo che esso è positivo su un insieme aperto denso in
\R^N); il ruolo di M_r nella risoluzione del problema di Dirichlet
omogeneo associato a L, nel senso di Perron-Wiener-Brelot;
l'esistenza di un "inverso" del teorema del valor medio
caratterizzante le palle sub-Riemanniane definite come insiemi di
sopralivello di Gamma. Quest'ultimo risultato estende un precedente
teorema di Kuran [Bull. London Math. Soc. 1972]. Come risultati
collaterali proviamo in modo molto semplice il Principio del
Massimo Forte per L e una formula di tipo Poisson&Jensen.
Attualmente, grazie ai risultati in [33], abbiamo studiato le
famiglie normali di funzioni L-armoniche ed abbiamo ottenuto una
estensione di un noto teorema di Montel proveniente dalla teoria
delle funzioni olomorfe; si veda il preprint [(iv)].
Nel preprint [(i)] viene fornita una caratterizzazione, per la
classe di operatori in [35] (caratterizzazione nuova anche nel caso
classico), delle funzioni L-subarmoniche u attraverso le proprietà
di convessità delle medie M_r(u)(x). Vengono poi estesi per gli
operatori L i teoremi di rimozione di singolarità in [19].
Pubblicazioni a carattere divulgativo:
Per finire, i lavori [36, 37, 38] ripercorrono parte
dell'esperienza da me svolta presso il Dipartimento di Matematica
nel 2000, Anno Mondiale della Matematica. Infatti, in occasione
delle celebrazioni del "World Mathematical Year 2000" e di Bologna
2000, ho collaborato all'organizzazione dell'evento "Matematica
Arte e Tecnologia: da Escher alla Computer Graphics", organizzato
dal Dipartimento di Matematica di Bologna. Tale evento prevedeva un
ciclo di convegni, una mostra di quadri e un ciclo di film
riguardanti il connubio esistente tra Matematica e Arte. L'intento
dell'evento (peraltro pienamente atteso) era quello di attrarre
l'interesse del grande pubblico verso il mondo della Matematica,
prendendo spunto dalle suggestioni dell'arte pittorica,
cinematografica e della computer graphics. In particolare, la
mostra di un centinaio di quadri originali del famoso pittore
olandese M. C. Escher, allestita presso la Biblioteca Universitaria
di Bologna (assieme ad alcune opere di O. Reutersvard e di L.
Saffaro) ha ispirato il catalogo da me curato con C. Valentini, in
cui si descrive il forte impatto che l'evento ha avuto sul
pubblico, soprattutto di giovani, incuriositi dalle inaspettate
interazioni tra matematica, arte e tecnologia. A partire dai
contributi forniti dai diversi studiosi che hanno collaborato
all'evento "Matematica Arte e Tecnologia", Springer Italia e
Springer-Verlag hanno realizzato le raccolte citate in [37, 38], in
cui sono intervenuto assieme con C. Valentini.
E-mail: andrea.bonfiglioli6@unibo.it
Bologna, 08/07/2019.
Prof. Andrea Bonfiglioli
